mach chứa nguồn ngoài-phương trình vi phân co vế 2

mạch chứa nguồn dc

chúng ta xét đến mạch rl hoặc rc được kích thích bởi một nguồn dc từ bên ngoài. các nguồn này được gọi chung là hàm ép (forcing function).

xét mạch (h 4.6). khóa k đóng tại thời điểm t=0 và tụ đã tích điện ban đầu với trị v₀. xác định các giá trị v, i_c và i_r sau khi đóng khóa k, tức t>0.

(h 4.6)

khi t>0, viết kcl cho mạch:

hay

giải phương trình, ta được:

xác định a nhờ điều kiện đầu.

hằng số a bây giờ tùy thuộc vào điều kiện đầu (v₀) và cả nguồn kích thích (i₀)

đáp ứng gồm 2 phần:

phần chứa hàm mũ có dạng giống như đáp ứng của mạch rc không chứa nguồn ngoài, phần này hoàn toàn được xác định nhờ thời hằng của mạch và được gọi là đáp ứng tự nhiên:

để ý là

phần thứ hai là một hằng số, tùy thuộc nguồn kích thích, được gọi là đáp ứng ép

v_f=ri₀ .

trong trường hợp nguồn kích thích dc, v_f là một hằng số.

(h 4.7) là giản đồ của các đáp ứng v, v_nvà v_f

(h 4.7)

dòng i_c và i_r xác định bởi:

lưu ý là khi chuyển đổi khóa k, hiệu thế 2 đầu điện trở đã thay đổi đột ngột từ ri₀ ở t=0- đến v₀ ở t=0+ còn hiệu thế 2 đầu tụ thì không đổi.

về phương diện vật lý, hai thành phần của nghiệm của phương trình được gọi là đáp ứng giao thời (transient response) và đáp ứng thường trực (steady state response).

đáp ứng giao thời → 0 khi t → ∞ và đáp ứng thường trực chính là phần còn lại sau khi đáp ứng giao thời triệt tiêu.

trong trường hợp nguồn kích thích dc, đáp ứng thường trực là hằng số và chính là trị của đáp ứng khi mạch đạt trạng thái ổn định (trạng thái thường trực)

điều kiện đầu và điều kiện cuối (initial and final condition)

điều kiện đầu

trong khi tìm lời giải cho một mạch điện, ta thấy cần phải tìm một hằng số tích phân bằng cách dựa vào trạng thái ban đầu của mạch mà trạng thái này phụ thuộc vào các đại lượng ban đầu của các phần tử tích trữ năng lượng.

dựa vào tính chất:

hiệu thế ngang qua tụ điện và dòng điện chạy qua cuộn dây không thay đổi tức thời:

v_c(0+)=v_c(0-) và i_l(0+)=i_l(0-)

- nếu mạch không tích trữ năng lượng ban đầu thì:

v_c(0+)=v_c(0-) = 0, tụ điện tương đương mạch nối tắt.

i_l(0+)=i_l(0-) = 0, cuộn dây tương đương mạch hở.

- nếu mạch tích trữ năng lượng ban đầu:

* hiệu thế ngang qua tụ tại t=0- là v₀=q₀/c thì ở t=0+ trị đó cũng là v₀ , ta thay bằng một nguồn hiệu thế.

* dòng điện chạy qua cuộn dây tại t=0- là i₀ thì ở t=0+ trị đó cũng là i₀ , ta thay bằng một nguồn dòng điện.

các kết quả trên được tóm tắt trong bảng 4.1

bảng 4.1

điều kiện cuối

đáp ứng của mạch đối với nguồn dc gồm đáp ứng tự nhiên → 0 khi t→∞ và đáp ứng ép là các dòng điện hoặc hiệu thế trị không đổi.

mặt khác vì đạo hàm của một hằng số thì bằng 0 nên:

(mạch hở) và (mạch nối tắt)

do đó, ở trạng thái thường trực dc, tụ điện được thay bằng một mạch hở và cuộn dây được thay bằng một mạch nối tắt.

ghi chú: đối với các mạch có sự thay đổi trạng thái do tác động của một khóa k, trạng thái cuối của mạch này có thể là trạng thái đầu của mạch kia.

thí dụ 4.1

xác định hiệu thế v(t) trong mạch (h 4.8a). biết rằng mạch đạt trạng thái thường trực trước khi mở khóa k.

(a)

(b) (c)

(h 4.8)

(h 4.8b) là mạch tương của (h 4.8a) ở t=0-, tức mạch (h 4.8a) đạt trạng thái thường trực, tụ điện tương đương với mạch hở và điện trở tương đương của phần mạch nhìn từ tụ về bên trái:

và hiệu thế v(0-) xác định nhờ cầu phân thế 10ôm và 15ôm

khi t>0, khóa k mở, ta có mạch tương đương ở (h 4.8c), đây chính là mạch rc không chứa nguồn ngoài.

áp dụng kết quả trong phần 4.1, được:

với