Lý thuyết bất phương trình mũ và bất phương trình lôgarit

Lý thuyết bất phương trình mũ và bất phương trình lôgarit

1. Khái quát

1. Khái quát: Cũng như phương trình mũ và phương trình lôgarit, các bất phương trình mũ và bất phương trình lôgarit rất phong phú về dạng và phương pháp giải. Một cách tổng quát, bất phương trình mũ( logarit) là các bất phương trình có chứa biểu thức mũ với ẩn ở số mũ. Cách giải bất phương trình mũ, lôgarit cũng tương tự như giải phương trình mũ, lôgarit cơ bản hoặc đổi biến (đặt ẩn phụ ) để đưa về giải bất phương trình đại số. Trong chương trình chỉ giới thiệu phương pháp giải bất phương trình mũ, lôgarit cơ bản, các dạng bất phương trình khác được hướng dẫn thông qua các ví dụ.

Chúng tôi cũng nhấn mạnh: Các em cần thành thạo cách giải phương trình mũ, lôgarit làm tốt điều này các m cũng thành thạo giải bất phương trình mũ,lôgarit.

2. Bất phương trình mũ cơ bản.

a^x > b ( hoặc a^x < b; a^x ≥ b; a^x ≤ b), trong đó a,b là hai số đã cho, a> 0, a( e)1.

Ta thường giải bất phương trình mũ cơ bản bằng cách lôgarit hóa trên cơ sở sử dụng tính chất đơn điệu của hàm số lôgarit. Lôgarit hóa bất phương trình (mà cả hai vế đều dương) theo cơ số lớn hơn 1( nhỏ hơn 1 và đổi chiều bất phương trình) ta được bất phương trình tương đương (trường hợp một vế âm, một vế dương ta có thể kết luận ngay về tập nghiêm):

- Nếu b > 0 và a > 1 thì

a^x > b ⇔ (log_{a}a^{x}) > log_ab ⇔  x > log_ab;        

a^x ≥ b ⇔  x ≥  log_ab

a^x <  b ⇔  x < log_ab;                                  

a^x ≤ b ⇔  x ≤  log_ab

- Nếu b>0 và 0<a

a^x > b ⇔ (log_{a}a^{x}) < log_ab ⇔  x < log_ab;        

a^x ≥ b ⇔  x ≤  log_ab

a^x <  b ⇔  x > log_ab;                                  

a^x ≤ b ⇔  x ≥ log_ab

- Nếu b ≤ 0 thì các bất phương trình a^x > b, a^x ≥ b  đều đúng với mọi x (tập nghiện là (mathbb R)) 

- Nếu b ≤ 0 thì các bất phương trình a^x < b, a^x ≤ b đều vô nghiệm

3. Bất phương trình loogarit cơ bản dạng 

log_ax > b (hoặc log_ax < b; log_ax ≥b; log_ax ≤ b)

trong đó a,b  là hai số đã cho,a>0, a( e)1

Ta giải bất phương trình loogarit cơ bản bằng cách mũ hóa sử dụng tính chất đơn điệu của hàm số mũ. Mũ hóa bất phương trình theo cơ số lớn hơn 1 (nhỏ hơn 1 và đổi chiều bất phương trình) ta được bất phương trình tương đương.

- Nếu a > 1 thì

log_ax  > b ⇔ (a^{log_{a}x}) > a^b ⇔ x > a^b ;           

log_ax ≥  b ⇔ x ≥ a^b

log_ax  < b ⇔ 0 < x < a^b ;                            

log_ax ≤  b ⇔ 0 < x ≤ a^b

- Nếu 0 < a< 1 thì 

log_ax  > b ⇔ (a^{log_{a}x}) < a^b ⇔ 0 < x < a^b ;           

log_ax ≥  b ⇔ 0 < x ≤ a^b

log_ax  < b ⇔  x > a^b ;                                      

log_ax ≤  b ⇔ x ≥  a^b

4. Chú ý: Các bất phương trình mũ, lôgarit cơ bản nêu trên trong trường hợp b =a^α( đối với bất phương trình mũ cơ bản) và b =log_aα ( trường hợp bất phương trình lôgarit  cơ bản) thì có thể sử dụng tính chất đơn điệu của hàm số mũ và hàm số lôgarit để giải, không cần lôgarit hóa hay mũ hóa. Chẳng hạn:  

Nếu a > 1 thì a^x > a^α ⇔ x > α;

Nếu 0 < a < 1 thì log_ax > log_aα ⇔  0 < x < α;...