Lý thuyết mặt cầu

Lý thuyết mặt cầu

1. Định nghĩa: Tâph hợp các điểm trong không gian cách điểm O cố định một khoảng không đổi r (r>0) được gọi là một mặt cầu tâm o bán kính r.

1. Định nghĩa: Tâph hợp các điểm trong không gian cách điểm (O) cố định một khoảng không đổi (r (r>0)) được gọi là một mặt cầu tâm (O) bán kính (r).

(S(O;r) = left{ {M|OM = r} ight})

* Đoạn thẳng nối hai điểm nằm trên mặt cầu gọi là dây cung của mặt cầu.

* Dây cung đi qua tâm gọi là đường kính.

* Cho mặt cầu (S(O;r)) và điểm (A) trong không gian.

- Nếu (OA = r) thì điểm (A) nằm trên mặt cầu

- Nếu (OA < r) thì điểm (A) nằm trong mặt cầu.

- Nếu (OA > r) thì điểm (A) nằm ngoài mặt cầu.

2. Tính chất: Nếu điểm (A) ngoài mặt cầu (S(O; r)) thì:

- Qua (A) có vô số tiếp tuyến với mặt càu.

- Độ dài các đoạn thẳng nối (A) với các tiếp điểm đều bằng nhau.

- Tập hợp các tiếp điểm là một đường tròn nằm trên mặt cầu.

3. Giao của mặt cầu với mặt phẳng

Cho mặt cầu (S(O; r)) tâm (O) bán kính (r) và mặt phẳng ((P)); (H) là hình chiếu vuông góc của (O) lên mặt phẳng ((P)). Khi đó (h = OH) là khoảng cách từ (O) đến mặt phẳng ((P)). Khi đó (h = OH) là khoảng cách từ (O) đến mặt phẳng ((P)).

- Nếu (h = r) thì ((P)) tiếp xúc mặt cầu.

- Nếu (h > r) thì ((P)) không có điểm chung với mặt cầu.

- Nếu (h < r) thì ((P)) giao mặt cầu (S(O;r)) theo một đường tròn tâm (H), bán kính

(r = sqrt {{r^2} - {h^2}}) nằm trên mặt phẳng ((P)).

4. Giao của mặt cầu với đường thẳng.

Cho mặt cầu (S(O;r)) và đường thẳng (∆). Gọi (H) là chân đường vuông góc hạ từ (O) lên (∆), đặt (h = OH). Thế thì:

- Khi (h = r) ta có đường thẳng (∆) tiếp xúc với mặt cầu tại (H).

- Khi (h < r): đường thẳng (∆) cắt mặt cầu tại hai điểm (A, B) mà độ dài  (AB = 2sqrt {{r^2} - {h^2}} )