Giải bài 8 trang 44 sgk Giải tích 12

Chương I: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số

Bài 5: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

Bài 8 (trang 44 SGK Giải tích 12): Cho hàm số:

y = x³ + (m + 3)x² + 1 - m (m là tham số)

có đồ thị (C_m).

a) Xác định m để hàm số có điểm cực đại là x = -1.

b) Xác định m để đồ thị (C_m) cắt trục hoành tại x = -2.

Lời giải:

a) Ta có: y' = 3x² + 2(m + 3)x = x[3x + 2(m + 3)]

y' = 0 ⇔ x[3x + 2(m + 3)] = 0 ⇔ x₁ = 0; x₂ = [-2(m + 3)]/3 = -2/3 m - 2

- Nếu x₁ = x₂ => -2/3 m - 2 = 0 => m = -3

Khi đó y' = 3x² ≥ 0 hay hàm số luôn đồng biến trên R nên không có cực trị (loại).

Do đó để hàm số có cực trị thì m ≠ -3.

- Nếu x₁ < x₂ ⇔ m = -3 ta có bảng biến thiên:

Loại vì dựa vào bảng biến thiên ta thấy điểm cực đại là x = 0.

- Nếu x₁ > x₂ ⇔ m < -3 ta có bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta thấy điểm cực đại là x = -2/3 m - 2.

Để điểm cực đại là x = -1 thì:

b) Đồ thị (C_m) cắt trục hoành tại x = -2 suy ra:

(-2)³ + (m + 3)(-2)² + 1 - m = 0 (*)

=> -8 + 4(m + 3) + 1 - m = 0

=> 3m + 5 = 0 => m = -5/3

(Giải thích *: Cắt trục hoành tại x = -2 nên tọa độ giao điểm là (-2; 0). Thay tọa độ giao điểm vào phương trình hàm số ta được (*).)

Tham khảo lời giải các bài tập Toán 12 bài 5