Giải bài 44,45,46, 47,48,49, 50,51,52 trang 86,87 SGK Toán 9 tập 2: Cung chứa góc

Đáp án và hướng dẫn Giải bài 44, 45, 46, 47 trang 86; Bài 48, 49, 50, 51, 52 trang 87 SGK Toán 9 tập 2: Cung chứa góc – Chương 3 hình học lớp 9.

A. Tóm tắt lý thuyết bài Cung chứa góc

1. Cách giải bài toán quỹ tích 

Muốn chứng minh một qũy tích (tập hợp) các điểm M thỏa mãn tính chất T là một hình H nào đó, ta phải chứng minh hai phần;

Phần thuận: Mọi điểm có tính chất T đều thuộc hình H.

Phần đảo: Mọi điểm M thuộc hình H đều có tính chất T.

Kết luận: Quỹ tích hay tập hợp các điểm M có tính chất T là hình H.

2. Quỹ tích cung chứa gócQuỹ tích(tập hợp): Các điểm M tạo với hai nút của đoạn thẳng AB cho trước một góc  ∠AMB có số đo α cho trước ( 0⁰ < α < 180⁰) là hai cung tròn có số đo là 360⁰

– 2α đối xứng với nhau qua AB.

Giải bài 36,37,38 ,39,40,41 ,42,43 trang 82,83 Toán 9 tập 2: Góc có đỉnh ở bên trong đường tròn. Góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn

B. Hướng dẫn giải bài tập sách giáo khoa bài Cung chứa góc hình học 9 tập 2

Bài 44 trang 86 SGK Toán 9 tập 2 – hình học

Cho tam giác ABC vuông ở A, có cạnh BC cố định. Gọi I là giao điểm của ba đường phân giác trong. Tìm quỹ tích điểm I khi A thay đổi.

Đáp án và hướng dẫn giải bài 44:

Theo tính chất của góc ngoài tam giác, ta có:

∠I₁=∠A₁ + ∠B_{1 (1)}

∠I₂=∠A₂ + ∠C_{1 (2)}

Cộng vế (1) và (2) vế với vế:

∠I₁ + ∠I₂ = ∠A₁ + ∠B₁ + ∠A₂ + ∠C₁

Hay ∠I = 90⁰ + 45⁰ =135⁰

Điểm I nhìn đoạn thẳng BC cố định dưới góc 135⁰ không đổi, vậy quỹ tích của I là góc cung chứa góc 135⁰ dựng trên đoạn thẳng BC

Bài 45 trang 86 SGK Toán 9 tập 2 – hình học

Cho các hình thoi ABCD có cạnh AB cố định. Tìm quỹ tích giao điểm O của hai đường chéo của các hình thoi đó.

Đáp án và hướng dẫn giải bài 45:

Theo tính chất của hình thoi, các đường chéo hình thoi vuông góc với nhau. Như vậy nếu cạnh AB cố định giao điểm O của các đường chéo hình thoi ABCD dưới góc 90⁰ không đổi. Vậy quỹ tích giao điểm O của hai đường chéo hình thoi ABCD khi AB cố định là đường tròn đường kính AB.

Bài 46 trang 86 SGK Toán 9 tập 2 – hình học

Dựng một cung chứa góc 55^o trên đoạn thẳng AB = 3cm

Đáp án và hướng dẫn giải bài 46:

Trình tự dựng như sau:

– Dựng đoạn thẳng AB = 3cm (dùng thước đo chia khoảng mm)

– Dựng góc xAB = 55^o (dùng thước đo góc và thước thẳng)

– Dựng tia Ay vuông góc với Ax (dùng êke)

– Dựng đường trung trực d của đoạn thẳng AB (dùng thước có chi khoảng và êke). Gọi O là giao điểm của d và Ay.

– Dựng đường tròn tâm O, bán kính OA (dùng compa)

Ta có: Cung AmB là cung chứa góc 55⁰ dựng trên đoạn thẳng AB = 3cm (một cung)

Bài 47 trang 86 SGK Toán 9 tập 2 – hình học

Gọi cung chứa góc 55^o ở bài tập 46 là cung AmB. Lấy điểm M₁ nằm bên trong và điểm M₂ nằm bên ngoài đường tròn chứa cung này sao cho M_1, M₂ và cung AmB nằm cùng về một phía đối với đường thẳng AB. Chứng minh rằng:

a) ∠AM₁B > 55⁰;

b) ∠AM₂B < 55⁰.

Đáp án và hướng dẫn giải bài 47:

a)

M₁ là điểm bất kì nằm trong cung chứa góc 55⁰ (hình a). Gọi B’, A’ theo thứ tự là giao điểm của M₁A, M₁B với cung tròn. Vì ∠AM₁B là góc có đỉnh nằm trong đường tròn, nên:

∠AM₁B =  sđ cung(AB +A’B’)/2 = sđcung AB/2 +  sđcung A’B’/2  = 55⁰+ (một số dương)

Vậy ∠AM₁B > 55⁰

b)

M₂ là điểm bất kì nằm ngoài đường tròn (h.b), M₂A, M₂B lần lượt cắt đường tròn tại A’, B’. Vì ∠AM₂B là góc có đỉnh nằm bên ngoài đường tròn nên: ∠AM₂B= sđcung(AB – A’B’)/2= sđAB/2 – sđA’B’/2 = 55⁰ –  (một số dương)

Vậy  ∠AM₂B <  55⁰

Bài 48 trang 87 SGK Toán 9 tập 2 – hình học

Cho hai điểm A, B cố định. Từ A vẽ các tiếp tuyến với đường tròn tâm B bán kính không lớn hơn AB. Tìm quỹ tích các tiếp điểm.

Đáp án và hướng dẫn giải bài 48:

Trường hợp các đường tròn tâm B có bán kính nhỏ hơn BA. Giả sử AT là tiếp tuyến của đường tròn tâm B. Với T là tiếp điểm.

Khi đó AT⊥BT ⇒ ∠ATB = 90⁰. Điểm T nhìn đoạn AB cố định dưới một góc vuông nnê quỹ tích của T là đường tròn đường kính AB.
– Trường hợp đường tròn tâm B, có bán kính bằng BA. Khi oó quỹ tích chỉ là điểm A.

Bài 49 trang 87 SGK Toán 9 tập 2 – hình học

Dựng tam giác ABC, biết BC = 6cm, ∠A = 40^o và đường cao AH = 4cm.

Đáp án và hướng dẫn giải bài 49:

Trình tự dựng gồm 3 bước:

– Dựng đoạn thẳng BC = 6cm

– Dựng cung chứa góc 40^o trên đoạn thẳng BC.

– Dựng đường thẳng xy song song với BC và cách BC một khoảng là 4cm như sau:

Trên đường trung trực d của đoạn thẳng BC lấy đoạn HH’ = 4cm (dùng thước có chia khoảng mm). Dựng đường thẳng xy vuông góc với HH’ tại H

Gọi giao điểm xy và cung chứa góc là ∠A, ∠A’. Khi đó tam giác ABC hoặc A’BC đều thỏa yêu cầu của đề toán.

Bài 50 trang 87 SGK Toán 9 tập 2 – hình học

Cho đường tròn đường kính AB cố định. M là một điểm chạy trên đường tròn. Trên tia đối của tia MA lấy điểm I sao cho MI = 2MB.

a) Chứng minh ∠AIB không đổi.

b) Tìm tập hợp các điểm I nói trên.

Đáp án và hướng dẫn giải bài 50:

a)

Vì ∠BMA = 90⁰  (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) suy ra trong tam giác vuông MIB có tg∠AIB = MB/MI = 1/2
⇒ ∠AIB =  26⁰34’

Vậy ∠AIB không đổi.

b) Phần thuận:

Khi điểm M chuyển động trên đường tròn đường kính AB thì điểm I cũng chuyển động, nhưng luôn nhìn đoạn thẳng AB cố định dưới góc 26^o34’, vậy điểm I thuộc hai cung chứa góc 26^o34’ dựng trên đoạn thẳng AB (hai cung AmB và  Am’B)

Phần đảo:

Lấy điểm I’ bất kì thuộc cung AmB hoặc cung Am’B, I’A cắt đường tròn đường kính AB tại M’.

Tam giác vuông BMT, có tg∠I’ =  M’B/M’I’ = tg26⁰34’

Kết luận: Quỹ tích điểm I là hai cung cung AmB và Am’B.

Bài 51 trang 87 SGK Toán 9 tập 2 – hình học

Cho I, O lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC với ∠A = 60⁰. Gọi H là giao điểm của các đường cao BB’ và CC’

Chứng minh các điểm B, C, O, H, I cùng thuộc một đường tròn.

Đáp án và hướng dẫn giải bài 51:

Xét tứ giác AB’HC’ ta có:

∠B’HC’ = 360⁰ -(∠A +∠B’ + ∠C’)

=360⁰ – (60⁰ + 90⁰ + 90⁰) = 120⁰

⇒ ∠BHC =120⁰ (Đối đỉnh với góc B’HC’)

Trong tam giác BIC ta có:

∠BIC = 180⁰ – (∠IBC + ∠ICB) = 180⁰ -(∠B/2 + ∠C/2)

=180⁰ -1/2(180⁰ -∠A) =180⁰ -1/2(180⁰ – 60⁰) =120⁰

Như vậy H, I đều nằm trên cung chứa góc 120⁰ dựng trên BC.Mặt khác tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O nên góc nội tiếp BAC trong đường tròn (O) có số đo:

60⁰ = ∠BAC =1/2sđ cungBC =1/2 ∠BOC  ⇒∠BOC =120⁰

Vậy O cùng nằm trên cung chứa góc 120⁰ dựng trên BC. ĐIều này có nghĩa là 5 điểm B,C,O,H,I nằm trên cùng một đường tròn chứa cung chứa góc 120⁰ dựng trên BC.

Bài 52 trang 87 SGK Toán 9 tập 2 – hình học

“Góc sút” của quả phạt đền 11 mét là bao nhiêu độ? Biết rằng chiều rộng cầu môn là 7,32m. Hãy chỉ ra hai vị trí khác trên sân có cùng “góc sút” như quả phạt đền 11 m.

Đáp án và hướng dẫn giải bài 52:

Gọi BC là bề rộng của cầu môn BC =7,32m

Bóng dặt ở vị trí A sao cho ΔABC cân tại A có đường cao AH =11m thì “góc sút” là góc BAC.

Ta có: ΔABC cân tại A.

⇒ HB =HC =3,66m (đường cao AH cũng là trung tuyến)

ΔAHB vuông ở H.

⇒tg∠A1 = BH/AH=3,66/11=0,3327

⇒∠A1 ≈ 18⁰40′ ⇒ ∠BAC ≈2.18⁰40’=37⁰20′

Do đó góc sút của quả phạt đền là: 37⁰20′

Điểm A nhìn BC dưới một góc 37⁰20′ dựng trên đoạn BC.