Giải bài 1.49, 1.50, 1.51, 1.52 trang 36, 37 Sách bài tập Giải tích 12

Bài 1.49 trang 36 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12

Cho hàm số:  y = 4x³ + mx              (m là tham số)       (1)

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số ứng với m = 1.

b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) song song với đường thẳng y = 13x + 1.

Hướng dẫn làm bài:

a) (y = 4{x^3} + x,y' = 12{x^2} + 1 > 0,forall x in R)

Bảng biến thiên:

Đồ thị:

b) Giả sử tiếp điểm cần tìm có tọa độ (x₀; y₀) thì (f'({x_0}) = 12x_0^2 + 1 = 13) (vì tiếp tuyến song song với đường thẳng (d): y = 3x  + 1). Từ đó ta có: ({x_0} =  pm 1)

Vậy có hai tiếp tuyến phải tìm là (y = 13x pm 8)

c) Vì  y’ = 12x² + m nên : (m ge 0:y' =  - 6({m^2} + 5m)x + 12m)

+) Với (m ge 0) ta có y’ > 0 (khi m = 0 ; y’ = 0 tại x = 0).

     Vậy hàm số (1) luôn luôn đồng biến khi  (m ge 0:y' =  - 6({m^2} + 5m)x + 12m)

+) Với m < 0 thì (y{ m{ }} = { m{ }}0 Leftrightarrow  x =  pm sqrt {{{ - m} over {12}}} )

Từ đó suy ra:

y’ > 0 với ( - infty  < x <  - sqrt {{{ - m} over {12}}} ) và (sqrt {{{ - m} over {12}}}  < x <  + infty )

y’ < 0  với ( - sqrt {{{ - m} over {12}}}  < x < sqrt {{{ - m} over {12}}} )

Vậy hàm số (1) đồng biến trên các khoảng (( - infty ; - sqrt {{{ - m} over {12}}} ),(sqrt {{{ - m} over {12}}} ; + infty )) và nghịch biến trên khoảng (( - sqrt {{{ - m} over {12}}} ;sqrt {{{ - m} over {12}}} ))

Bài 1.50 trang 37 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12

Cho hàm số: y = x³ + mx² – 3                                        (1)

a) Xác định m để hàm số (1) luôn luôn có cực đại, cực tiểu.

b) Chứng minh rằng phương trình:  x³ + mx² – 3 = 0       (2)  luôn luôn có một nghiệm dương với mọi giá trị m thuộc R.

c) Xác định m để phương trình (2) có một nghiệm duy nhất.

Hướng dẫn làm bài:

Hàm số (y = {x^3} + m{x^2} - 3) xác định và có đạo hàm trên R.

   (y' = 3{x^2} + 2mx = x(3x + 2m))   

Để hàm số có cực đại , cực tiểu thì phương trình y’ = 0 phải có hai nghiệm phân biệt:

     ({x_1} = 0;{x_2} = {{ - 2m} over 3} e 0)     

Muốn vậy phải có (m e 0)

b) Ta có: (mathop {lim }limits_{x o  + infty } ({x^3} + m{x^2} - 3) =  + infty )  và  (y(0) = -3 < 0.)

Vậy với mọi m, phương trình x³ + mx² – 3 = 0  luôn luôn có nghiệm dương.

c) Phương trình  f(x) = x³ + mx² – 3 = 0 có duy nhất một nghiệm khi và chỉ khi cực đại và cực tiểu của hàm số y = f(x) cùng dấu, tức là:

(eqalign{
& f(0)f( - {{2m} over 3}) > 0 cr 
& Leftrightarrow  ( - 3)( - {{8{m^3}} over {27}} + {{4{m^3}} over 9} - 3) > 0  cr&Leftrightarrow 8{m^3} - 12{m^3} + 81 > 0 cr 
& Leftrightarrow  4{m^3} < 81 Leftrightarrow m < 3 oot 3 of {{3 over 4}} (m e 0) cr} )

Bài 1.51 trang 37 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12

Cho hàm số: (y =  - ({m^2} + 5m){x^3} + 6m{x^2} + 6x - 5)

a) Xác định m để hàm số đơn điệu trên R. Khi đó, hàm số đồng biến hay nghịch biến? Tại sao?

b) Với giá trị nào của m thì hàm số đạt cực đại tại x = 1 ?

Hướng dẫn làm bài:

a)

(eqalign{
& y = - ({m^2} + 5m){x^3} + 6m{x^2} + 6x - 5 cr 
& y' = - 3({m^2} + 5m){x^2} + 12mx + 6 cr} )  

Hàm số đơn điệu trên R khi và chỉ khi y’ không đổi dấu.

Ta xét các trường hợp:

+)  ({m^2} + 5m = 0 Leftrightarrow left[ matrix{
m = 0 hfill cr 
m = - 5 hfill cr} ight.)

- Với m = 0 thì y’ = 6 nên hàm số luôn đồng biến.

- Với m = -5 thì y’ = -60x + 6 đổi dấu khi x đi qua .

+) Với ({m^2} + 5m e 0) Khi đó, y’ không đổi dấu nếu 

(eqalign{
& Delta ' = 36{m^2} + 18({m^2} + 5m) le 0 cr 
& Leftrightarrow  3{m^2} + 5m le 0 Leftrightarrow  - {5 over 3} le m le 0 cr} )       

- Với điều kiện đó, ta có ( - 3({m^2} + 5m) > 0) nên y’ > 0 và do đó hàm số đồng biến trên R.

Vậy với điều kiện ( - {5 over 3} le m le 0) thì hàm số đồng biến trên R.

b) Nếu hàm số đạt cực đại tại x = 1 thì y’(1) = 0. Khi đó:

(y'(1) = - 3{m^2} - 3m + 6 = 0 Leftrightarrow left[ matrix{
m = 1 hfill cr 
m = - 2 hfill cr} ight.)                     

Mặt khác, (y' =  - 6({m^2} + 5m)x + 12m)

+) Với m = 1  thì y’’ = -36x + 12. Khi đó, y’’(1) = -24 < 0 , hàm số đạt cực đại tại x = 1.

+) Với m = -2 thì y’’ = 36x – 24. Khi đó, y’’(1) = 12 > 0, hàm số đạt cực tiểu tại x = 1.

Vậy với m = 1 thì hàm số đạt cực đại tại x = 1.

Bài 1.52 trang 37 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12

Cho hàm số (y = {{(a - 1){x^3}} over 3} + a{x^2} + (3a - 2)x)

a) Xác định a để hàm số luôn luôn đồng biến.

b) Xác định a để đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt.

c) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số ứng với (a = {3 over 2}).

Từ đó suy ra đồ thị của hàm số:  (y = |{{{x^3}} over 6} + {{3{x^2}} over 2} + {{5x} over 2}|)

Hướng dẫn làm bài:

a) Ta có:  

(eqalign{
& y' = 15{x^4} + 5 > 0,forall x in R cr 
& y = {{(a - 1){x^3}} over 3} + a{x^2} + (3a - 2)x cr 
& y' = (a - 1){x^2} + 2ax + 3a - 2 cr} )                  .

+)Với a = 1, y’ = 2x + 1  đổi dấu khi x đi qua ( - {1 over 2}) . Hàm số không luôn luôn đồng biến.

+) Với (a e 1) thì với mọi x mà tại đó (y' ge 0)

(Leftrightarrow left{ matrix{
a - 1 > 0 hfill cr 
Delta ' = - 2{a^2} + 5a - 2 le 0 hfill cr} ight. Leftrightarrow a ge 2)   

(y’ = 0  chỉ tại x = -2 khi a = 2)

Vậy với (a ge 2)  hàm số luôn luôn đồng biến.

b) Đồ thị cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình y = 0 có ba nghiệm phân biệt. Ta có:

(eqalign{
& y = 0 Leftrightarrow x{ m{[}}{{(a - 1){x^2}} over 3} + ax + 3a - 2] = 0 cr 
& Leftrightarrow  x{ m{[}}(a - 1){x^2} + 3ax + 9a - 6] = 0 cr} )

 y = 0    có ba nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình:

((a - 1){x^2} + 3ax + 9a - 6 = 0) có hai nghiệm phân biệt khác 0.

Muốn vậy, ta phải có: 

(left{ matrix{
a - 1 e 0 hfill cr 
Delta = 9{a^2} - 4(a - 1)(9a - 6) > 0 hfill cr 
9a - 6 e 0 hfill cr} ight.)                                

Giải hệ trên ta được:

({{10 - sqrt {28} } over 9} < a < {2 over 3};{2 over 3} < a < 1;1 < a < {{10 + sqrt {28} } over 9})

c) Khi  (a = {3 over 2}) thì (y = {{{x^3}} over 6} + {{3{x^2}} over 2} + {{5x} over 2})

(y' = {{{x^2}} over 2} + 3x + {5 over 2})

(y' = 0 Leftrightarrow {x^2} + 6x + 5 = 0 Leftrightarrow left[ matrix{
x = - 1 hfill cr 
x = - 5 hfill cr} ight.)      

Bảng biến thiên:

Đồ thị

Vì 

(|{{{x^3}} over 6} + {{3{x^2}} over 2} + {{5x} over 2}| = left{ matrix{
{{{x^3}} over 6} + {{3{x^2}} over 2} + {{5x} over 2},{{{x^3}} over 6} + {{3{x^2}} over 2} + {{5x} over 2} ge 0 hfill cr 
- ({{{x^3}} over 6} + {{3{x^2}} over 2} + {{5x} over 2}),{{{x^3}} over 6} + {{3{x^2}} over 2} + {{5x} over 2} < 0 hfill cr} ight.)

Nên từ đồ thị  (C) ta suy ra ngay đồ thị hàm số: (y = |{{{x^3}} over 6} + {{3{x^2}} over 2} + {{5x} over 2}|)

Zaidap.com