Giải bài 1.1, 1.2, 1.3, 1.4 trang 7 Sách bài tập Giải tích 12

Bài 1.1 trang 7 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12

Xét sự đồng biến, nghịch biến của các hàm số:

 a) (y = 3{x^2} - 8{x^3})                                                   

b) (y = 16x + 2{x^2} - {{16} over 3}{x^3} - {x^4})

c) (y = {x^3} - 6{x^2} + 9x)

d) (y = {x^4} + 8{x^2} + 5)

Hướng dẫn làm bài

a) TXĐ: R

(y' = 6x - 24{x^2} = 6x(1 - 4x))

y' = 0  <=> (left[ {matrix{{x = 0} cr {x = {1 over 4}} cr} } ight.)

y' > 0 trên khoảng (0;({1 over 4}) ) , suy ra y đồng biến trên khoảng (0;({1 over 4}) )

y' < 0 trên các khoảng (-∞;0 ); (({1 over 4}; + infty )), suy ra y nghịch biến trên các khoảng (-∞;0 ); (({1 over 4}; + infty ))

b) TXĐ: R

(y' = 16 + 4x - 16{x^2} - 4{x^3} =  - 4(x + 4)({x^2} - 1))

y' = 0     <=> (left[ {matrix{{x = - 4} cr {x = - 1} cr {x = 1} cr} } ight.)

Bảng biến thiên:

Vậy hàm số y đã cho đồng biến trên các khoảng (-∞; -4) và (-1; 1), nghịch biến trên các khoảng (-4; -1) và (1; +∞)

c) TXĐ: R

(y' = 3{x^2} - 12x + 9)

y'=0   <=>  (left[ {matrix{{x = 1} cr {x = 3} cr} } ight.)

y' > 0 trên các khoảng (-∞; 1), (3; +∞) nên y đồng biến trên các khoảng (-∞; 1), (3; +∞) 

y'< 0 trên khoảng (1; 3) nên y nghịch biến trên khoảng (1; 3)

d) TXĐ: R

(y' = 4{x^3} + 16 = 4x({x^2} + 4))

y' = 0      <=> x = 0

y' > 0 trên khoảng (0; +∞)   => y đồng biến trên khoảng (0; +∞)

y' < 0 trên khoảng (-∞; 0)  => y nghịch biến trên khoảng (-∞; 0)

Bài 1.2 trang 7 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12

Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của các hàm số:

a) (y = {{3 - 2x} over {x + 7}})

b) (y = {1 over {{{(x - 5)}^2}}})

c) (y = {{2x} over {{x^2} - 9}})

d) (y = {{{x^4} + 48} over x})

e) (y = {{{x^2} - 2x + 3} over {x + 1}})

g) (y = {{{x^2} - 5x + 3} over {x - 2}})

Hướng dẫn làm bài

a) TXĐ: R {-7}

(y' = {{ - 17} over {{{(x + 7)}^2}}})

y' < 0 trên các khoảng (-∞; -7), (-7; +∞) nên hàm số nghịch biến trên các khoảng đó

b) TXĐ: R {5}

(y' = {{ - 2} over {{{(x - 5)}^3}}})

y' < 0 trên khoảng (5; +∞) nên y nghịch biến trên khoảng (5; +∞)

y' > 0 trên khoảng (-∞; 5) nên y đồng biến trên khoảng (-∞; 5)

c) TXĐ: R{-3; 3}

(y' = {{ - 2({x^2} + 9)} over {{{({x^2} - 9)}^2}}})

y' < 0 trên các khoảng (-∞; - 3), (-3; 3), (3; +∞) nên hàm số đã cho nghịch biến trên các khoảng đó.

d) TXĐ: R {0}

(y' = {{3({x^4} - 16)} over {{x^2}}} = {{3({x^2} - 4)({x^2} + 4)} over {{x^2}}})

y' = 0 <=> (left[ {matrix{{x = - 2} cr {x = 2} cr} } ight.)

Bảng biến thiên:

Vậy hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng (-∞; -2), (2; +∞) và nghịch biến trên các khoảng (-2; 0), (0; 2)

e) TXĐ: R {-1}

(y' = {{{x^2} + 2x - 5} over {{{(x + 1)}^2}}})

y' = 0    <=>  (left[ {matrix{{x = - 1 - sqrt 6 } cr {x = - 1 + sqrt 6 } cr} } ight.)

Vậy hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng (( - infty ; - 1 - sqrt 6 ),( - 1 + sqrt 6 ; + infty ))

và nghịch biến trên các khoảng (( - 1 - sqrt 6 ; - 1),( - 1; - 1 + sqrt 6 ))

g) TXĐ: R {2}

(y' = {{{x^2} - 4x + 7} over {{{(x - 2)}^2}}} > 0)

(do ({x^2} - 4x + 7) có ∆' = - 3 < 0)

Vậy hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng (( - infty ;2),(2; + infty ))

Bài 1.3 trang 8 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12

Xét tính đơn điệu của các hàm số:

a) (y = sqrt {25 - {x^2}} )

b) (y = {{sqrt x } over {x + 100}})

c) (y = {x over {sqrt {16 - {x^2}} }})

d) (y = {{{x^3}} over {sqrt {{x^2} - 6} }})

Hướng dẫn làm bài

a) TXĐ: [-5; 5]

 (y' = {{ - x} over {sqrt {25 - {x^2}} }}) ; y’ = 0       <=>  x = 0

Bảng biến thiên:

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng (-5; 0) nghịch biến trên khoảng (0; 5)

b) TXĐ: [0; +∞)

    (y' = {{100 - x} over {2sqrt x {{(x + 100)}^2}}})  ; y’ = 0  <=>  x = 100

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng (0; 100) và nghịch biến trên khoảng (100; +∞)

c) TXĐ:  (-4; 4)

    (y' = {{16} over {(16 - {x^2})sqrt {16 - {x^2}} }} > 0) ; ∀ x ∈ (-4; 4).

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng (-4; 4).

d) TXĐ:  (-∞; (sqrt 6 )) ∪ ((sqrt 6 ); +∞)

(y' = {{2{x^2}({x^2} - 9)} over {({x^2} - 6)sqrt {{x^2} - 6} }}) ; y’ = 0  <=>  x = ±3

Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng (-∞; -3), (3; +∞), nghịch biến trên các khoảng (-3;(-sqrt 6 ) ), ((sqrt 6 ); 3).

Bài 1.4 Trang 8 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12

Xét sự đồng biến, nghịch biến của các hàm số:

a) (y = x - {mathop{ m s} olimits} { m{inx}}),   x ∈ [0; 2π].

b) (y = x + 2cos x) , x ∈ (({pi  over 6};{{5pi } over 6}))

c) (y = sin {1 over x}) , (x > 0)

Hướng dẫn làm bài

a) (y = x - {mathop{ m s} olimits} { m{inx}}),   x ∈ [0; 2π].

   (y' = 1 - c{ m{osx }}) ≥ 0 với mọi x ∈ [0; 2π]

  Dấu “=” xảy ra chỉ tại x = 0 và x = 2π.

Vậy hàm số đồng biến trên đoạn [0; 2π].

b) (y = x + 2cos x) , x ∈ (({pi  over 6};{{5pi } over 6}))

    (y' = 1 - 2sin x) < 0  với  x ∈ (({pi  over 6};{{5pi } over 6}))

 Do đó, hàm số nghịch biến trên khoảng  (({pi  over 6};{{5pi } over 6}))

c) Xét hàm số (y = sin {1 over x})  với x > 0.

                      (y' =  - {1 over {{x^2}}}cos {1 over x})

Giải bất phương trình sau trên khoảng (0; +∞):

           ({1 over {{x^2}}}( - cos {1 over x}) > 0)  ⟺ (cos {1 over x}) < 0

⟺ ({pi  over 2}(1 + 4k) < {1 over x} < {pi  over 2}(3 + 4k)) ,k = 0, 1, 2 ….

⟺ ({2 over {pi (1 + 4k)}} > x > {2 over {pi (3 + 4k)}})  , k = 0, 1, 2 ……..

Do đó, hàm số đồng biến trên các khoảng

(....,({2 over {(4k + 3)pi }};{2 over {(4k + 1)pi }}),({2 over {(4k - 1)pi }};{2 over {(4k - 3)pi }}),.....,) (({2 over {7pi }};{2 over {5pi }}),({2 over {3pi }};{2 over pi }))

Và nghịch biến trên các khoảng

……, (({2 over {(4k + 1)pi }};{2 over {(4k - 1)pi }}),({2 over {5pi }};{2 over {3pi }}),.....,({2 over pi }; + infty ))

 với k = 0, 1, 2 …

Zaidap.com