Giải bài 1.34, 1.35, 1.36, 1.37 trang 33, 34 Sách bài tập Giải tích 12

Bài 1.34 trang 33 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12

Tìm m để hàm số

a) (y = {x^3} + (m + 3){x^2} + mx - 2)  đạt cực tiểu tại x = 1

b) (y =  - {1 over 3}({m^2} + 6m){x^3} - 2m{x^2} + 3x + 1)  đạt cực đại tại x = -1;

Hướng dẫn làm bài:

a)

(eqalign{
& y' = 3{x^2} + 2(m + 3)x + m cr 
& y' = 0 Leftrightarrow  3{x^2} + 2(m + 3)x + m = 0 cr} )

Hàm số đạt cực trị tại x = 1 thì:

(y'(1) = 3 + 2(m + 3) + m = 3m + 9 = 0Leftrightarrow  m =  - 3)   

Khi đó, 

(eqalign{
& y' = 3{x^2} - 3 cr 
& y' = 6x;y'(1) = 6 > 0 cr} )             

Suy ra hàm số đạt cực tiểu tại x = 1 khi m = 3

b)

(eqalign{
& y' = - ({m^2} + 6m){x^2} - 4mx + 3 cr 
& y'( - 1) = - {m^2} - 6m + 4m + 3 cr & = ( - {m^2} - 2m - 1) + 4 = - {(m + 1)^2} + 4 cr} )     

Hàm số đạt cực trị tại x = -1 thì :

(eqalign{
& y'( - 1) = - {(m + 1)^2} + 4 = 0 Leftrightarrow  {(m + 1)^2} = 4 cr 
& Leftrightarrow left[ matrix{
m = 3 hfill cr 
m = - 1 hfill cr} ight. cr} )

Với m  = -3 ta có y’ = 9x² + 12x + 3

                  (Rightarrow y’’ = 18x + 12)

                  (Rightarrow y’’(-1) = -18 + 12 = -6  < 0)

Suy ra hàm số đạt cực đại tại x = -1.

Với m = 1 ta có:

(y' =  - 7{x^2} - 4x + 3 )

(Rightarrow y' =  - 14x - 4)

(Rightarrow  y'( - 1) = 10 > 0)   

Suy ra hàm số đạt cực tiểu tại x = -1

Kết luận: Hàm số đã cho đạt cực đại tại x = -1 khi m = -3. 

Bài 1.35 trang 33 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12

Tìm m để hàm số

a) (y = {x^4} + ({m^2} - 4){x^2} + 5) có 3 cực trị

b) (y = (m - 1){x^4} - m{x^2} + 3) có đúng một cực trị.

Hướng dẫn làm bài:

a) Hàm số có 3 cực trị khi và chỉ khi y’ = 0 có 3 nghiệm phân biệt , tức là :

(y' = 4{x^3} + 2({m^2} - 4)x = 2x(2{x^2} + {m^2} - 4) = 0)  có 3 nghiệm phân biệt

(Leftrightarrow {x^2} + {m^2} - 4 = 0) có 2 nghiệm phân biệt khác 0

(Leftrightarrow 4 - {m^2} > 0 Leftrightarrow  - 2 < m < 2)

Vậy với  - 2 < m < 2 hàm số có 3 cực trị.

b) (y' = 4(m - 1){x^3} - 2mx = 2x[2(m - 1){x^2} - m{ m{]}})

Hàm số có đúng một cực trị khi y’ = 0 có đúng một nghiệm, tức là:

(2x[2(m - 1){x^2} - m{ m{] = 0}})  chỉ có nghiệm x = 0

Muốn vậy, phải có m = 1 hoặc ({m over {2(m - 1)}} le 0 Leftrightarrow  0 le m le 1)

Vậy với (0 le m le 1) hàm số đã cho có một cực trị duy nhất.

Bài 1.36 trang 34 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12

Tìm m để hàm số:  (y = {1 over 3}m{x^3} + m{x^2} + 2(m - 1)x - 2) không có cực trị

Hướng dẫn làm bài:

Hàm số không có cực trị khi và chỉ khi phương trình:

(y' = m{x^2} + 2mx + 2(m - 1) = 0) không có 2 nghiệm phân biệt.

Muốn vậy, phải có:

(eqalign{
& Delta ' = {m^2} - 2m(m - 1) = - {m^2} + 2m le 0 cr 
& Leftrightarrow left[ matrix{
m le 0 hfill cr 
m ge 2 hfill cr} ight. cr} ) 

Vậy với m ≤ 0 hoặc m ≥ 2 hàm số đã cho không có cực trị.

Bài 1.37 trang 34 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12

Chứng minh rằng hàm số: (y = {x^3} - 3(m - 1){x^2} - 3(m + 3)x - 5)  luôn có cực trị với mọi giá trị của m ∈ R

Hướng dẫn làm bài:

(eqalign{
& y' = 3{x^2} - 6(m - 1)x - 3(m + 3) cr 
& y' = 0 Leftrightarrow  {x^2} - 2(m - 1)x - m - 3 = 0 cr} ) 

Hàm số cực trị khi và chỉ khi y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt.

( Leftrightarrow  Delta ' = {(m - 1)^2} + m + 3 = {m^2} - m + 4 ge 0) 

Ta thấy tam thức (Delta ' = {m^2} - m + 4) luôn dương với mọi (m in R) vì (delta  = 1 - 16 =  - 15 < 0) và a = 1 > 0.

Vậy hàm số đã cho luôn có cực trị với mọi giá trị.

Zaidap.com