Giải bài 1.20, 1.21, 1.22 trang 19 Sách bài tập Giải tích 12

Bài 1.20 trang 19 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:

a) f(x) = -3x² + 4x – 8  trên đoạn [0; 1]

b)  f(x) = x³ + 3x² – 9x – 7  trên đoạn [-4; 3]

c) (f(x) = sqrt {25 - {x^2}} ) trên đoạn [-4; 4]

d)  f(x) = |x² – 3x + 2| trên đoạn [-10; 10]

e) (f(x) = {1 over {sin x}}) trên đoạn ({ m{[}}{pi  over 3};{{5pi } over 6}{ m{]}})

g) (f(x) = 2sin x + sin 2x) trên đoạn ({ m{[}}0;{{3pi } over 2}{ m{]}})

Hướng dẫn làm bài:

a) f(x) = -3x² + 4x – 8 trên đoạn [0; 1]

(eqalign{
& f'(x) = - 6x + 4,f'(x) = 0 < = > x = {2 over 3} cr
& f({2 over 3}) = - {{20} over 3},f(0) = - 8;f(1) = - 7 cr} )

Vậy (mathop {min }limits_{{ m{[}}0;1]} f(x) =  - 8;mathop {max }limits_{{ m{[}}0;1]} f(x) =  - {{20} over 3})

b)  f(x) = x³ + 3x² – 9x – 7 trên đoạn [-4; 3]

(f'(x) = 3{x^2} + 6x - 9)

(f'(x) = 0 Leftrightarrow left[ matrix{
x = 1 hfill cr
x = - 3 hfill cr} ight.)

Hàm số đạt cực đại tại x = -3, đạt cực tiểu tại x = 1 và f_CĐ = f(-3) = 20;  f_CT = f(1) = -12 ;

f(-4) = 13 ; f(3) = 20.

Vậy (mathop {min }limits_{{ m{[}} - 4;3]} f(x) =  - 12;mathop {max }limits_{{ m{[}} - 4;3]} f(x) = 20)

c) (f(x) = sqrt {25 - {x^2}} )  trên đoạn  [-4; 4]

(f'(x) = {{ - x} over {sqrt {25 - {x^2}} }};f'(x) > 0) trên khoảng (-4; 0) và

      f’(x) < 0  trên khoảng (0; 4).

Hàm số đạt cực đại tại x = 0  và f_CĐ = 5

Mặt khác, ta có  f(-4) = f(4) = 3

Vậy (mathop {min }limits_{{ m{[}} - 4;4]} f(x) = 3;mathop {max }limits_{{ m{[}} - 4;4]} f(x) = 5)

d) (f(x) = |{x^2} - 3x + 2|) trên đoạn [-10; 10]

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số  g(x) = x² – 3x + 2.

Ta có: 

 (g'(x) = 2x - 3;g'(x) = 0 <  =  > x = {3 over 2})          

Bảng biến thiên:

Vì

(f(x) = left{ matrix{
g(x),{x^2} - 3x + 2 ge 0 hfill cr
- g(x),{x^2} - 3x + 2 < 0 hfill cr} ight.)

 nên ta có đồ thị f(x) như sau:

Từ đồ thị suy ra: (mathop {min }limits_{{ m{[}} - 10;10]} f(x) = f(1) = f(2) = 0;mathop {max }limits_{{ m{[}} - 10;10]} f(x) = f( - 10) = 132)

e) (f(x) = {1 over {sin x}}) trên đoạn ({ m{[}}{pi  over 3};{{5pi } over 6}{ m{]}})

(f'(x) =  - {{cos x} over {{{sin }^2}x}},f'(x) < 0) nên  và f’(x) > 0  trên (({pi  over 2};{{5pi } over 6}{ m{]}}) nên hàm số đạt cực tiểu tại (x = {pi  over 2}) và ({f_{CT}} = f({pi  over 2}) = 1)

Mặt khác, (f({pi  over 3}) = {2 over {sqrt 3 }},f({{5pi } over 6}) = 2)

Vậy (mathop {min }limits_{{ m{[}}{pi  over 3};{{5pi } over 6}]} f(x) = 1;mathop {max }limits_{{ m{[}}{pi  over 3};{{5pi } over 6}]} f(x) = 2)

g) (f(x) = 2sin x + sin 2x) trên đoạn ({ m{[}}0;{{3pi } over 2}{ m{]}})

(f'(x) = 2cos x + 2cos 2x = 4cos {x over 2}cos {{3x} over 2})

(f'(x) = 0 Leftrightarrow left[ matrix{
cos {x over 2} = 0 hfill cr
cos {{3x} over 2} = 0 hfill cr} ight. Rightarrow left[ matrix{
x = pi hfill cr
x = {pi over 3} hfill cr} ight.)

Ta có: (f(0) = 0,f({pi  over 3}) = {{3sqrt 3 } over 2},f(pi ) = 0,f({{3pi } over 2}) =  - 2)

Từ đó ta có :  (mathop {min }limits_{{ m{[}}0;{{3pi } over 2}]} f(x) =  - 2;mathop {max }limits_{{ m{[}}0;{{3pi } over 2}]} f(x) = {{3sqrt 3 } over 2}).

Bài 1.21 trang 20 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:

a) (y = {x over {4 + {x^2}}}) trên khoảng (( - infty ; + infty )) ;

b) (y = {1 over {cos x}}) trên khoảng (({pi  over 2};{{3pi } over 2}))

c) (y = {1 over {1 + {x^4}}}) trên khoảng (( - infty ; + infty )) ;

d) (y = {1 over {sin x}}) trên khoảng ((0;pi )) .

Hướng dẫn làm bài:

a)  (y = {x over {4 + {x^2}}}) trên khoảng (( - infty ; + infty )) 

(eqalign{
& y' = {{4 - {x^2}} over {{{(4 + {x^2})}^2}}} cr
& y' = 0 Rightarrow left[ matrix{
x = - 2 hfill cr
x = 2 hfill cr} ight. cr} )

Từ đó ta có (mathop {min }limits_R f(x) =  - {1 over 4};mathop {max }limits_R f(x) = {1 over 4})

b) (y = {1 over {cos x}}) trên khoảng (({pi  over 2};{{3pi } over 2}))

 (y' = {{sin x} over {{{cos }^2}x}};y' = 0 <  =  > x = pi)

Bảng biến thiên:

Hàm số không có giá trị nhỏ nhất. Giá trị lớn nhất của hàm số là: (mathop {max }limits_{({pi  over 2};{{3pi } over 2})} y = y(pi ) =  - 1)                       

c) (y = {1 over {1 + {x^4}}}) trên khoảng (( - infty ; + infty )) ;

  (y' = {{ - 4{x^3}} over {{{(1 + {x^4})}^2}}};y' = 0 <  =  > x = 0)

Bảng biến thiên:

Hàm số không có giá trị nhỏ nhất. Giá trị lớn nhất là: (mathop {max }limits_R y = y(0) = 1)

d)  (y = {1 over {sin x}}) trên khoảng ((0;pi ))

 (y' = {{ - cos x} over {{{sin }^2}x}},y' = 0 <  =  > x = {pi  over 2})

Bảng biến thiên:

Hàm số không có giá trị lớn nhất. Giá trị nhỏ nhất của hàm số là: (mathop {min }limits_{(0;pi )} y = y({pi  over 2}) = 1).

Bài 1.22 trang 20 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số (f(x) = {{2x - 1} over {x - 3}}) trên đoạn [0; 2].

(Đề thi tốt nghiệp THPT năm 2008, lần 2)

Hướng dẫn làm bài:

TXĐ:  D =R{3}

(f'(x) =  - {5 over {{{(x - 3)}^2}}} < 0,forall x in D) và do đó f(x) nghịch biến trên các khoảng (( - infty ;3),(3; + infty ))

Ta thấy ({ m{[}}0;2] subset ( - infty ;3).)

Vì vậy:  (mathop {min }limits_{{ m{[}}0;2]} f(x) = f(2) =  - 3;mathop {max }limits_{{ m{[}}0;2]} f(x) = f(0) = {1 over 3}).

Zaidap.com