Độ dốc phân giới, trạng thái chảy và phương trình vi phân cơ bản của dòng chảy ổn định thay đổi dần

Định nghĩa

Trong một kênh lăng trụ, dẫn một lưu lượng xác định thì độ dốc nào tại của kênh tạo nên dòng chảy đều có độ sâu bằng độ sâu phân giới (h₀ = h_k), độ dốc đó gọi là độ dốc phân giới, kí hiệu i_k

Cách xác định ik

Theo định nghĩa trên, ta thay h₀ = h_k vào công thức (1-10), ta được

Q=AkCkRkik size 12{Q=A rSub { size 8{k} } C rSub { size 8{k} } sqrt {R rSub { size 8{k} } i rSub { size 8{k} } } } {} (2-32)

Từ công thức trên tìm được i_k

ik=Q2ωk2.Ck2.Rk size 12{i rSub { size 8{k} } = { {Q rSup { size 8{2} } } over {ω rSub { size 8{k} } rSup { size 8{2} } "." C rSub { size 8{k} } rSup { size 8{2} } "." R rSub { size 8{k} } } } } {} (2-32a)

Tính chất của độ dốc phân giới

Trong dòng chảy, nếu lưu lượng là hằng số (Q = const), ta thấy:

• i = i_k thì h = h_k; lúc đó dòng đều bằng độ sâu phân giới.
• i > i_k thì h₀ < h_k; lúc đó dòng đều nhỏ hơn độ sâu phân giới.
• i < i_k thì h₀ > h_k; lúc đó dòng đều lớn hơn độ sâu phân giới.

Phương trình dạng thứ 1

Chọn trục tọa độ zOL, xét năng lượng tại điểm bất kỳ trong dòng chảy ta có:

E = z + + α.v22g size 12{ { {α "." v rSup { size 8{2} } } over {2g} } } {}

Lấy đạo hàm năng lượng dọc theo dòng chảy, ta được:

dEdl size 12{ { { ital "dE"} over { ital "dl"} } } {} = ddl size 12{ { {d} over { ital "dl"} } } {}( z + + α.v22g size 12{ { {α "." v rSup { size 8{2} } } over {2g} } } {})

Theo dòng chảy đều ổn định ta có:

dEdl size 12{ { { ital "dE"} over { ital "dl"} } } {}= -J (2-45)

Xét năng lượng tại mặt thoáng chất lỏng, thì ta có: paγ size 12{ { {p rSub { size 8{a} } } over {γ} } } {}= const, giải phương trình đạo hàm trên ta được:

−dzdl=ddlα.v22g+J size 12{ - { { ital "dz"} over { ital "dl"} } = { {d} over { ital "dl"} } left ( { {α "." v rSup { size 8{2} } } over {2g} } right )+J} {} (2-46)

Đây là phương trình biểu diễn sự thay đổi cao trình mực nước trong dòng chảy ổn định thay đổi dần. Được nghiên cứu đối với kênh thiên nhiên.

Phương trình dạng thứ 2

Lấy đạo hàm như trên nhưng nếu xét đến năng lương đơn vị tại mặt cắt thì ta cũng có công thức như (2-14) là :

dedl=i−J size 12{ { { ital "de"} over { ital "dl"} } =i - J} {} (2-47)

Phương trình dạng thứ 3

Đối với kênh phi lăng trụ, thì A=f(l,h) theo (2-9) nên e= f(l, h) và h=f(l), phương trình vi phân toàn phần của năng lượng đơn vị là

de = ∂ e ∂ l dl + ∂ e ∂ h dh size 12{ ital "de"= { { partial e} over { partial l} } ital "dl"+ { { partial e} over { partial h} } ital "dh"} {}

Phương trình trên có thể viết :

dedl=∂e∂l+∂e∂hdhdl size 12{ { { ital "de"} over { ital "dl"} } = { { partial e} over { partial l} } + { { partial e} over { partial h} } { { ital "dh"} over { ital "dl"} } } {} (2-48)

Đạo hàm phương trình (2-9) dọc theo l, ta có :

∂ e ∂ l = − α . Q 2 g . A 3 ∂ A ∂ l size 12{ { { partial e} over { partial l} } = - { {α "." Q rSup { size 8{2} } } over {g "." A rSup { size 8{3} } } } { { partial A} over { partial l} } } {}

Thay phương trình trên và các phương trình (2-41), (2-47) vào (2-48) biến đổi ta được :

dhdl=i−J+α.Q2gA3∂A∂l1−Fr size 12{ { { ital "dh"} over { ital "dl"} } = { {i - J+ { {α "." Q rSup { size 8{2} } } over { ital "gA" rSup { size 8{3} } } } { { partial A} over { partial l} } } over {1 - ital "Fr"} } } {} (2-48)

Đây là phương trình tổng quát đúng cho mọi loại kênh.

Đối với kênh lăng trụ có:A = f(h), nên: ∂A∂l=0 size 12{ { { partial A} over { partial l} } =0} {} thay vào (2-48), ta có thể viết theo độ dốc thủy lực và hệ số Fr là : dhdl=i−J1−Fr size 12{ { { ital "dh"} over { ital "dl"} } = { {i - J} over {1 - F rSub { size 8{r} } } } } {} (2-48a)

Giải phương trình trên tìm được quy luật biến đổi h theo l.