Công thức tổng quát-Đa thức nội suy

Đặt x-x₀ = h.t (2.11)

Ta có: x-x_k = (t-k) h; ∀k=1;n; x_j –x_k = (j-k) h (2.12)

Thay vào (2.6) ta được:

không phụ thuộc vào mốc nội suy. Tùy theo từng trường hợp người ta có các công thức hàm nội suy thích ứng.

Ví dụ 1 :Với hàm số y=sin(x/2) tại các nút giá trị sau:

Hãy xác định đa thức nội suy Lagrange đi qua các điểm trên? Hãy tính giá trị gần đúng của hàm số tại điểm x=1? Hãy đánh giá sai số lý thuyết tại x=1

Theo phần lý thuyết trên đa thức nội suy Lagrange đi qua các điểm (xi,yi) được xác định như sau

Ta có:

L0(x)=(x-1.5)(x-2)/3

L1(x)=-4/3x(x-2)

L2(x)=x(x-1.5)

Vậy P(x)= y0L0(x)+y1L1(x)+y2L2(x)=0- 0.682*4/3x(x-2) + 0.841*x(x-1.5)

Vậy P(1)=0- 0.682*4/3(1-2) + 0.841(1-1.5)

P(1)=0.4888

* Đánh giá sai số lý thuyết:

R(x)=(f(3)(η)/3!)*x(x-1.5)(x-2).

f(x)=sin(x/2). Vậy f(3)(x)=(-1/2(3))cos(x/2)

Ta có |f(3)(x)|≤1/8

Vậy R(1)≤(f(3)(x)/3!)*(1-1.5)(1-2)≈0.01042.

Ví dụ 2.Với hàm số y=sin(x/3) tại các nút giá trị sau:

Hãy xác định đa thức nội suy Lagrange đi qua các điểm trên? Hãy tính giá trị gần đúng của hàm số tại điểm x=1? Hãy đánh giá sai số lý thuyết tại x=1

Theo phần lý thuyết trên đa thức nội suy Lagrange đi qua các điểm (xi,yi) được xác định như sau

Ta có:

L0(x)=(x-1.5)(x-2)/3

L1(x)=-4/3x(x-2)

L2(x)=x(x-1.5)

Vậy P(x)= y0L0(x)+y1L1(x)+y2L2(x)=0- 0.479*4/3x(x-2) + 0.618*x(x-1.5)

Vậy P(1)=0- 0.479*4/3(1-2) + 0.618(1-1.5)

P(1)≈0.3297

* Đánh giá sai số lý thuyết:

R(x)=(f(3)(η)/3!)*x(x-1.5)(x-2).

f(x)=sin(x/3). Vậy f(3)(x)=(-1/3(3))cos(x/3)

Ta có |f(3)(x)|≤1/27

Vậy R(1)≤( |f(3)(x)|/3!)*(1-1.5)(1-2)≈((1/27)/6)*0.5=0.00386