Câu hỏi trắc nghiệm chuong III, 1. Cho ba điểm M(2; 0; 0), N(0; – 3; 0), P(0; 0; 4). Nếu MNPQ là một hình bình hành thì tọa đọ điểm Q là:...
1. Cho ba điểm M(2; 0; 0), N(0; – 3; 0), P(0; 0; 4). Nếu MNPQ là một hình bình hành thì tọa đọ điểm Q là. Câu hỏi trắc nghiệm chuong III – Câu hỏi trắc nghiệm chương III – Phương pháp tọa độ trong không gian Bài 1. Cho ba điểm M(2; 0; 0), N(0; – 3; 0), P(0; 0; 4). Nếu MNPQ là một hình bình ...
Bài 1. Cho ba điểm M(2; 0; 0), N(0; – 3; 0), P(0; 0; 4). Nếu MNPQ là một hình bình hành thì tọa độ điểm Q là:
(A) (-2; -3; 4) (B) (3; 4; 2)
(C) (2; 3; 4) (D) (-2; -3; -4)
Giải
MNPQ là hình bình hành
( Leftrightarrow overrightarrow {MN} = overrightarrow {QP} Leftrightarrow left{ matrix{
0 – 2 = 0 – {x_Q} hfill cr
– 3 – 0 = 0 – {y_Q} hfill cr
0 – 0 = 4 – {z_Q} hfill cr}
ight. Leftrightarrow left{ matrix{
{x_Q} = 2 hfill cr
{y_Q} = 3 hfill cr
{z_Q} = 4 hfill cr}
ight.)
Vậy Q(2; 3; 4).
Chọn (C).
Bài 2. Cho ba điểm (Aleft( {1;2;0} ight),,,,,Bleft( {1;0; – 1} ight),,,,,Cleft( {0; – 1;2} ight).) Tam giác ABC là:
(A) Tam giác cân đỉnh A;
(B) Tam giác vuông đỉnh A;
(C) Tam giác đều;
(D) Không phải như (A), (B), (C).
Giải
Ta có
(eqalign{
& AB = sqrt {{{left( {1 – 1}
ight)}^2} + {{left( {0 – 2}
ight)}^2} + {{left( {-1 – 0}
ight)}^2}} = sqrt 5 cr
& AC = sqrt {{{left( {0 – 1}
ight)}^2} + {{left( { – 1 – 2}
ight)}^2} + {{left( {2 – 0}
ight)}^2}} = sqrt {14} cr
& BC = sqrt {{{left( {0 – 1}
ight)}^2} + {{left( { – 1 – 0}
ight)}^2} + {{left( {2 + 1}
ight)}^2}} = sqrt {11} cr
& Rightarrow A{B^2} + B{C^2} > A{C^2} cr} )
(AC>BC>AB)
Chọn (D)
Bài 3. Cho tam giác ABC có A=(1;0;1), B=(0;2;3), C(2;1;0). Độ dài đường cao tam giác kẻ từ C là:
(A) (sqrt {26} ) (B) ({{sqrt {26} } over 2}) (C) ({{sqrt {26} } over 3}) (D) 26
Giải
Khoảng cách từ C đến đường thẳng AB là: (h = {{left| {left[ {overrightarrow {AC} ,overrightarrow {AB} } ight]} ight|} over {left| {overrightarrow {AB} } ight|}} = {{sqrt {26} } over 3}.)
Chọn (C).
Bài 4. Ba đỉnh của một hình bình hành có tọa độ là (left( {1;1;1} ight),,;,,left( {2;3;4} ight),,;,,left( {6;5;2} ight).) Diện tích hình bình hành đó bằng:
(A) (2sqrt {83} ) (B) (sqrt {83} ) (C) 83 (D) ({{sqrt {83} } over 2})
Giải
A(1; 1; 1), B(2; 3; 4), C(6; 5; 2).
({S_{ABCD}} = 2{S_{ABC}} = left| {left[ {overrightarrow {AB} ,overrightarrow {AC} } ight]} ight| = 2sqrt {83} .)
Chọn (A).
Bài 5. Cho (Aleft( {1;0;0} ight),,;,,Bleft( {0;1;0} ight),,;,,Cleft( {0;0;1} ight)) và (Dleft( { – 2;1; – 1} ight)). Thể tích của tứ diện ABCD là:
(A) 1 (B) 2 (C) ({1 over 3}) (D) ({1 over 2})
Giải
(eqalign{
& overrightarrow {AB} left( { – 1;1;0}
ight),overrightarrow {AC} left( { – 1;0;1}
ight) cr
& Rightarrow left[ {overrightarrow {AB} ;overrightarrow {AC} }
ight] = left( {left| matrix{
1,,,,,,,,0 hfill cr
0,,,,,,,,1 hfill cr}
ight|;left| matrix{
0,,,, – 1 hfill cr
1,,,,, – 1 hfill cr}
ight|;left| matrix{
– 1,,,,,1 hfill cr
– 1,,,,0 hfill cr}
ight|}
ight) = left( {1;1;1}
ight) cr
& overrightarrow {AD} left( { – 3;1; – 1}
ight) cr
& Rightarrow left[ {overrightarrow {AB} ,overrightarrow {AC} }
ight].overrightarrow {AD} = 1.left( { – 3}
ight) + 1.1 + 1.left( { – 1}
ight) = – 3 cr
& Rightarrow {V_{ABCD}} = {1 over 6}left| {left[ {overrightarrow {AB} ,overrightarrow {AC} }
ight].overrightarrow {AD} }
ight| = {3 over 6} = {1 over 2}. cr} )
Chọn D
Bài 6. Cho (Aleft( { – 1; – 2;4} ight),,;,,Bleft( { – 4; – 2;0} ight),,;,,Cleft( {3; – 2;1} ight)) và (Dleft( {1;1;1} ight)). Độ dài đường cao của tứ diện ABCD kẻ từ đỉnh D là:
(A) 3 (B) 1 (C) 2 (D) ({1 over 2})
Giải
Độ dài đường cao của tứ diện ABCD kẻ từ D là khoảng cách từ D đến mp(ABC).
Ta có:
(eqalign{
& overrightarrow {AB} left( { – 3;0; – 4}
ight),overrightarrow {AC} left( {4;0; – 3}
ight) cr
& Rightarrow left[ {overrightarrow {AB} ;overrightarrow {AC} }
ight] = left( {left| matrix{
0,,,,,,, – 4 hfill cr
0,,,,,,,, – 3 hfill cr}
ight|;left| matrix{
– 4,,, – 3 hfill cr
– 3,,,,,,,4 hfill cr}
ight|;left| matrix{
– 3,,,,0 hfill cr
4,,,,,,0 hfill cr}
ight|}
ight) = left( {0; – 25;0}
ight) = – 25left( {0;1;0}
ight) cr} )
Suy ra mặt phẳng (ABC) đi qua A và nhận (overrightarrow n = left( {0;1;0}
ight)) là vectơ pháp tuyến.
Phương trình mặt phẳng (ABC): (y + 2 = 0).
( Rightarrow h = dleft( {D;left( {ABC}
ight)}
ight) = {{left| {1 + 2}
ight|} over {sqrt 1 }} = 3.)
Chọn (A).
Bài 7. Cho bốn điểm (Aleft( {1;1;1} ight),,,,,Bleft( {1;2;1} ight),,,Cleft( {1;1;2} ight)) và (Dleft( {2;2;1} ight).) Tâm I mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD là:
(A) (left( {{3 over 2}, – {3 over 2},{3 over 2}} ight)) (B) (left( {{3 over 2},{3 over 2},{3 over 2}} ight))
(C) (left( {3;3;3} ight)) (D) (left( {3; – 3;3} ight).)
Giải
Phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD có dạng
({x^2} + {y^2} + {z^2} – 2ax – 2by – 2cz + d = 0,,left( 1 ight))
Thay tọa độ của A, B, C, D vào (1) ta được hệ phương trình
(left{ matrix{
3 – 2a – 2b – 2c + d = 0 hfill cr
6 – 2a – 4b – 2c + d = 0 hfill cr
6 – 2a – 2b – 4c + d = 0 hfill cr
9 – 4a – 4b – 2c + d = 0 hfill cr}
ight. Leftrightarrow left{ matrix{
a = b = c = {3 over 2} hfill cr
d = 6 hfill cr}
ight. Rightarrow Ileft( {{3 over 2};{3 over 2};{3 over 2}}
ight)).
Chọn (B).
Bài 8. Bán kính mặt cầu tâm I(3;3;-4) tiếp xúc với trục Oy bằng:
(A) 5 (B) 4 (C) (sqrt 5 ) (D) ({5 over 2}.)
Giải
Hình chiếu của I trên trục Oy là I’(0; 3; 0).
Khoảng cách từ điểm I đến trục Oy bằng (R = II’ = sqrt {{(-3)^2} + {4^2}} = 5.)
Chọn (A).
Bài 9. Mặt cầu tâm (Ileft( {2;1; – 1} ight)) tiếp xúc với mặt phẳng tọa độ (Oyz) có phương trình là:
(A) ({left( {x – 2} ight)^2} + {left( {y – 1} ight)^2} + {left( {z + 1} ight)^2} = 4;)
(B) ({left( {x – 2} ight)^2} + {left( {y – 1} ight)^2} + {left( {z + 1} ight)^2} = 1;)
(C) ({left( {x + 2} ight)^2} + {left( {y + 1} ight)^2} + {left( {z – 1} ight)^2} = 4;)
(D) ({left( {x + 2} ight)^2} + {left( {y – 1} ight)^2} + {left( {z + 1} ight)^2} = 2.)
Giải
Mp(Oyz) có phương trình x = 0.
Khoảng cách từ I đến mp(Oyz) là (R = {{left| 2 ight|} over {sqrt {{1^2} + {0^2} + {0^2}} }} = 2.)
Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là:
({left( {x – 2} ight)^2} + {left( {y – 1} ight)^2} + {left( {z + 1} ight)^2} = 4)
Chọn (A).
Bài 10. Cho ba điểm (Aleft( {1;1;3} ight),,,Bleft( { – 1;3;2} ight)) và (Cleft( { – 1;2;3} ight).)Mặt phẳng (ABC) có phương trình là:
(A) (x + 2y + 2z – 3 = 0)
(B) (x – 2y + 3z – 3 = 0;)
(C) (x + 2y + 2z – 9 = 0;)
(D) ({x^2} + 2y + 2z + 9 = 0).
Giải
Mp(ABC) có vectơ pháp tuyến (overrightarrow n = left[ {overrightarrow {AB} ,overrightarrow {AC} } ight] = left( {1;2;2} ight).)
Vậy phương trình mặt phẳng (ABC) là: (x + 2y + 2z – 9 = 0)
Chọn (C).
Bài 11. Cho ba điểm (Aleft( {1;0;0} ight),,,Bleft( {0;2;0} ight),,,Cleft( {0;0;3} ight).) Phương trình nào sau đây không phải là phương trình mặt phẳng (ABC)?
(A) (x + {y over 2} + {z over 3} = 1;)
(B) (6x + 3y + 2z – 6 = 0;)
(C) (6x + 3y + 2z + 6 = 0;)
(D) (12x + 6y + 4z – 12 = 0.)
Giải
Mp(ABC) ({x over 1} + {y over 2} + {z over 3} = 1)
Chọn (C).
Bài 12. Cho hai điểm (Aleft( {1;3; – 4} ight)) và (Bleft( { – 1;2;2} ight)). Phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn AB là:
(A) (4x + 2y – 12z – 17 = 0;)
(B) (4x + 2y + 12z – 17 = 0;)
(C) (4x – 2y – 12z – 17 = 0;)
(D) (4x – 2y + 12z + 17 = 0.)
Giải
(overrightarrow {AB} = left( { – 2; – 1;6}
ight).)
Trung điểm AB là (Ileft( {0;{5 over 2}; – 1}
ight)).
Phương trình mặt phẳng tung trực của AB đi qua I và có vectơ pháp tuyến là (overrightarrow n = overrightarrow {AB} ) nên có dạng: ( – 2left( {x – 0}
ight) – left( {y – {5 over 2}}
ight) + 6left( {z + 1}
ight) = 0 Leftrightarrow 4x + 2y – 12z – 17 = 0.)
Chọn (A).
Bài 13. Cho A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c), a, b, c là những số dương thay đổi sao cho ({1 over a} + {1 over b} + {1 over c} = 2.) Mặt phẳng (ABC) luôn đi qua một điểm cố định có tọa độ là:
(A) (1; 1; 1) (B) (2; 2; 2)
(C) (left( {{1 over 2},{1 over 2},{1 over 2}} ight)) (D) (left( { – {1 over 2}, – {1 over 2}, – {1 over 2}} ight)).
Giải
Phương trình mp(ABC): ({x over a} + {y over b} + {z over c} = 1.)
Mp(ABC) đi qua điểm (left( {{1 over 2};{1 over 2};{1 over 2}}
ight)) cố định.
Chọn (C).
Bài 14. Cho điểm (Aleft( { – 1;2;1} ight)) và hai mặt phẳng (left( P ight):2x + 4y – 6z – 5 = 0) và (left( Q ight):x + 2y – 3z = 0.) Mệnh đề nào sau đây là đúng?
(A) Mp(Q) qua A và song song với (P);
(B) Mp(Q) không qua A và song song với (P);
(C) Mp(Q) qua A và không song song với (P);
(D) Mp(Q) không qua A và không song song với (P).
Giải
(A in left( Q
ight)) và (Q) // (P).
Chọn (A).
Bài 15. Cho điểm (Aleft( {1;2; – 5} ight)). Gọi M, N, P là hình chiếu của A lên ba trục Ox, Oy, Oz. Phương trình mặt phẳng (MNP) là:
(A) (x + {y over 2} – {z over 5} = 1;) (B) (x + {y over 2} + {z over 5} = 1;)
(C) (x + {y over 2} – {z over 5} = 0;) (D) (x + {y over 2} – {z over 5} + 1 = 0.)
Giải
Ta có (Mleft( {1;0;0}
ight);Nleft( {0;2;0}
ight),Pleft( {0;0; – 5}
ight).)
Mp(MNP): ({x over 1} + {y over 2} + {z over { – 5}} = 1.)
Chọn (A).
Bài 16. Cho mặt cầu (left( S ight):{x^2} + {y^2} + {z^2} – 2left( {x + y + z} ight) – 22 = 0) và mặt phẳng (P): (3x – 2y + 6z + 14 = 0.) Khoảng cách từ tâm I của mặt cầu (S) tới mặt phẳng (P) là:
(A 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4.
Giải
Tâm I(1; 1; 1).
(dleft( {I;left( P
ight)}
ight) = {{left| {3 – 2 + 6 + 14}
ight|} over {sqrt {9 + 4 + 36} }} = 3.)
Chọn (C).
Bài 17. Mặt phẳng (P) cắt ba trục Ox, Oy, Oz tại A, B, C, trọng tâm tam giác ABC là (Gleft( { – 1; – 3;2} ight)). Phương trình mặt phẳng (P) là:
(A) (x + y – z – 5 = 0;)
(B) (2x – 3y – z – 1 = 0;)
(C) (x + 3y – 2z + 1 = 0;)
(D) (6x + 2y – 3z + 18 = 0.)
Giải
Giả sử A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) thì (Gleft( {{a over 3};{b over 3};{c over 3}}
ight) Rightarrow a = – 3,,,b = – 9,,,c = 6.)
Mp(ABC): ({x over { – 3}} + {y over { – 9}} + {z over 6} = 1 Leftrightarrow 6x + 2y – 3z + 18 = 0.)
Chọn (D).
Bài 18. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh bằng 1. Gọi M là trung điểm cạnh BC. Tính khoảng cách từ A tới mặt phẳng (A’MD).
Một học sinh làm như sau:
Bước 1: Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ. Kéo dài DM cắt AB tại E. Khi đó
(eqalign{
& A = left( {0;0;0}
ight),,,,,,,,,,,,,,E = left( {2;0;0}
ight) cr
& D = left( {0;1;0}
ight),,,,,,,,,,,,,,,A’ = left( {0;0;1}
ight) cr} )
Bước 2. Viết phương trình mặt phẳng (A’MD):
({x over 2} + {y over 1} + {z over 1} = 1 Leftrightarrow x + 2y + 2z – 2 = 0.)
Bước 3. Khoảng cách (dleft( {A;left( {A’MD}
ight)}
ight) = {{left| { – 2}
ight|} over {sqrt {1 + 4 + 4} }} = {2 over 3}.)
Bài giải trên đúng hay sai? Nếu sai thì sai ở bước nào?
(A) Đúng; (B) Sai ở bước 1;
(C) Sai ở bước 2; (D) Sai ở bước 3.
Giải
Chon A
Bài 19. Cho hai điểm (Aleft( {1; – 1;5} ight)) và (Bleft( {0;0;1} ight)). Mặt phẳng (P) chứa A, B và song song với Oy có phương trình là:
(A) (4x – z + 1 = 0)
(B) (4x + y – z + 1 = 0)
(C) (2x + z – 5 = 0)
(D) (y + 4z – 1 = 0.)
Giải
Mp(P) qua A và có vectơ pháp tuyến (overrightarrow n = left[ {overrightarrow {AB} ;overrightarrow j } ight]) với (overrightarrow j = left( {0;1;0} ight).)
(eqalign{
& overrightarrow {AB} left( { – 1;1; – 4}
ight) cr
& Rightarrow left[ {overrightarrow {AB} ;overrightarrow j }
ight] = left( {left| matrix{
1,,,,, – 4 hfill cr
1,,,,,,,,0 hfill cr}
ight|;left| matrix{
– 4,,, – 1 hfill cr
0,,,,,,,,,0 hfill cr}
ight|;left| matrix{
– 1,,,,1 hfill cr
0,,,,,,1 hfill cr}
ight|}
ight) = left( {4;0; – 1}
ight) cr} )
Chon A
Bài 20. Mặt phẳng (P) chứa trục Oz và điểm (Aleft( {2; – 3;5} ight)) có phương trình là:
(A) (2x + 3y = 0;) (B) (2x – 3y = 0;)
(C) (3x + 2y = 0;) (D) (3x – 2y + z = 0.)
Giải
Mp(P) qua O và có vectơ pháp tuyến (overrightarrow n = left[ {overrightarrow {OA} ,overrightarrow k } ight]) với (overrightarrow k = left( {0;0;1} ight).)
(eqalign{
& overrightarrow {OA} left( {2; – 3;5}
ight) cr
& Rightarrow left[ {overrightarrow {OA} ;overrightarrow k }
ight] = left( {left| matrix{
– 3,,,,5 hfill cr
0,,,,,,,,1 hfill cr}
ight|;left| matrix{
5,,,,,,2 hfill cr
1,,,,,,,0 hfill cr}
ight|;left| matrix{
2,,,, – 3 hfill cr
0,,,,,,,0 hfill cr}
ight|}
ight) = left( { – 3; – 2;0}
ight) cr} )
Chọn C
Bài 21. Cho mặt phẳng (P) có phương trình (x – y – 1 = 0.) Điểm (Hleft( {2; – 1; – 2} ight)) là hình chiếu vuông góc của gốc tọa độ O trên một mặt phẳng (Q). Góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) là:
(A) ({30^0}) (B) ({45^0}) (C) ({60^0}) (D) ({90^0})
Giải
mp(Q) có vectơ pháp tuyến (overrightarrow m = overrightarrow {OH} = left( {2; – 1; – 2}
ight))
Mp(P) có vectơ pháp tuyến (overrightarrow n = left( {1; – 1;0}
ight)).
(varphi ) là góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) thì:
(cos varphi = {{left| {overrightarrow m .overrightarrow n }
ight|} over {left| {overrightarrow m }
ight|.left| {overrightarrow n }
ight|}} = {{left| {2 + 1}
ight|} over {sqrt {4 + 1 + 4} .sqrt {1 + 1 + 0} }} = {1 over {sqrt 2 }} Rightarrow varphi = {45^0}.)
Chọn (B).
Bài 22. Cho điểm A(1; 2; 3) và đường thẳng (d:{x over 3} = {{y – 1} over 4} = z + 3). Phương trình mặt phẳng (A,d) là:
(A) (23x + 17y – z + 14 = 0)
(B) (23x – 17y – z + 14 = 0;)
(C) (23x + 17y + z – 60 = 0;)
(D) (23x – 17y + z – 14 = 0.)
Giải
d có vectơ chỉ phương (overrightarrow u = left( {3,4,1}
ight)) và đi qua (Mleft( {0,1, – 3}
ight).)
Mp(A, d) qua A và có vectơ pháp tuyến (overrightarrow n = left[ {overrightarrow {AM} ,overrightarrow u }
ight].)
Vậy phương trình mặt phẳng cần tìm là:
(23x – 17y – z + 14 = 0)
Chọn (B).
Bài 23.Cho hai đường thẳng
({d_1}:{{x – 1} over 1} = {y over 2} = {{z – 3} over 3},,;,,,{d_2}:left{ matrix{
x = 2t hfill cr
y = 1 + 4t hfill cr
z = 2 + 6t. hfill cr}
ight.)
Khẳng định nào sau đây là đúng?
(A) ({d_1},{d_2}) cắt nhau; (B) ({d_1},{d_2}) trùng nhau;
(C) ({d_1}//{d_2}); (D) ({d_1},{d_2}) chéo nhau.
Giải
({d_1},{d_2}) có cùng vectơ chỉ phương (overrightarrow u = left( {1,2,3}
ight)) và (Aleft( {1,0,3}
ight) in {d_1},) nhưng (A
otin {d_2}.) Vậy ({d_1}) // ({d_2})
Chọn (C).
Bài 24.Cho mặt phẳng (left( alpha ight):x + 3y + z + 1 = 0) và đường thẳng
(d:left{ matrix{
x = 1 + t hfill cr
y = 2 – t hfill cr
z = 2 – 3t. hfill cr}
ight.) Tọa độ giao điểm A của d và (left( alpha
ight)) là:
(A) A(3; 0; 4) (B) (Aleft( {3; – 4;0} ight))
(C) (Aleft( { – 3;0;4} ight)) (D) (Aleft( {3;0; – 4} ight)).
Giải
Thay x, y, z từ d vào (left( alpha
ight)) ta có: (1 + t + 3left( {2 – t}
ight) + 2 – 3t + 1 = 0 Leftrightarrow t = 2.)
Vậy (Aleft( {3,0, – 4}
ight).)
Chọn (D).
Bài 25.Cho đường thẳng
(d:left{ matrix{
x = 2t hfill cr
y = 1 – t hfill cr
z = 2 + t. hfill cr}
ight.)
Phương trình nào sau đây cũng là phương trình của đường thẳng d?
(A)
(left{ matrix{
x = 2 – 2t hfill cr
y = – t hfill cr
z = 3 + t,; hfill cr}
ight.)
(B)
(left{ matrix{
x = 4 – 2t hfill cr
y = – 1 + t hfill cr
z = 4 – t,; hfill cr}
ight.)
(C)
(left{ matrix{
x = 4 + 2t hfill cr
y = 1 – t hfill cr
z = 4 + t,; hfill cr}
ight.)
(D)
(left{ matrix{
x = 2t hfill cr
y = 1 + t hfill cr
z = 2 + t. hfill cr}
ight.)
Giải
d đi qua (Mleft( {4, – 1,4}
ight)) có vectơ chỉ phương (overrightarrow u = left( {2; – 1;1}
ight).)
Chọn (B).
Bài 26. Cho hai điểm (Aleft( {2;3; – 1} ight),Bleft( {1;2;4} ight)) và ba phương trình sau:
(left( I
ight),,left{ matrix{
x = 2 – t hfill cr
y = 3 – t hfill cr
z = – 1 + 5t,; hfill cr}
ight.,,,,,,,,,,,,left( {II}
ight),,{{x – 2} over 1} = {{y – 3} over 1} = {{z + 1} over { – 5}};,,,,,,,,,,,,,,,,left( {III}
ight),,left{ matrix{
x = 1 – t hfill cr
y = 2 – t hfill cr
z = 4 + 5t. hfill cr}
ight.)
Mệnh đề nào sau đây là đúng?
(A) Chỉ có (I) là phương trình của đường thẳng AB;
(B) Chỉ có (III) là phương trình của đường thẳng AB;
(C) Chỉ có (I) và (II) là phương trình của đường thẳng AB;
(D) Cả (I), (II) và (III) là phương trình của đường thẳng AB.
Giải
Đường thẳng AB có vectơ chỉ phương (overrightarrow {AB} = left( { – 1, – 1,5}
ight).)
Chọn (D).
Bài 27. Cho ba điểm A(1; 3; 2), B(1; 2; 1), C(1; 1; 3). Viết phương trình đường thẳng (Delta ) đi qua trọng tâm G của tam giác ABC và vuông góc với mp(ABC).
Một học sinh làm như sau:
Bước 1: Tọa độ trong tâm G của tam giác ABC là
(left{ matrix{
{x_G} = {{1 + 1 + 1} over 3} = 1 hfill cr
{y_G} = {{3 + 2 + 1} over 3} = 2 hfill cr
{z_G} = {{2 + 1 + 3} over 3} = 2. hfill cr}
ight.)
Bước 2: Vectơ pháp tuyến của mp(ABC) là (overrightarrow n = left[ {overrightarrow {AB} ,overrightarrow {AC} } ight] = left( { – 3;1;0} ight).)
Bước 3:Phương trình tham số của đường thẳng (Delta ) là:
(left{ matrix{
x = 1 – 3t hfill cr
y = 2 + t hfill cr
z = 2. hfill cr}
ight.)
Bài giải trên đúng hay sai? Nếu sai thì sai ở bước nào?
(A) Đúng; (B) Sai ở bước 1;
(C) Sai ở bước 2; (D) Sai ở bước 3.
Giải
(overrightarrow {AB} = left( {0, – 1, – 1}
ight),overrightarrow {AC} = left( {0, – 2,1}
ight),left[ {overrightarrow {AB} ,overrightarrow {AC} }
ight] = left( { – 3,0,0}
ight).)
Chọn (C).
Bài 28.Gọi d là đường thẳng đi qua gốc tọa độ O, vuông góc với trục Ox và vuông góc với đường thẳng
(Delta :left{ matrix{
x = 1 + t hfill cr
y = 2 – t hfill cr
z = 1 – 3t. hfill cr}
ight.)
Phương trình của d là:
(A)
(left{ matrix{
x = t hfill cr
y = 3t hfill cr
z = – t,; hfill cr}
ight.)
(B)
(left{ matrix{
x = 1 hfill cr
y = – 3t hfill cr
z = – t,; hfill cr}
ight.)
(C) ({x over 1} = {y over 3} = {z over { – 1}};)
(D)
(left{ matrix{
x = 0 hfill cr
y = – 3t hfill cr
z = t. hfill cr}
ight.)
Giải
Ox có vectơ chỉ phương (overrightarrow i = left( {1,0,0}
ight).)
(Delta ) có vectơ chỉ phương (overrightarrow u = left( {1, – 1, – 3}
ight).)
d có vectơ chỉ phương (overrightarrow a = left[ {overrightarrow i ,overrightarrow u }
ight] = left( {0,3, – 1}
ight).)
Chọn (D).
Bài 29.Cho đường thẳng
(d:left{ matrix{
x = 3 + 4t hfill cr
y = – 1 – t hfill cr
z = 4 + 2t, hfill cr}
ight.) và mặt phẳng (left( P
ight):x + 2y – z + 3 = 0.) Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào đúng?
(A) d song song với (P); (B) d cắt (P);
(C) d vuông góc với (P); (D) d nằm trên (P).
Giải
(Aleft( {3, – 1,4}
ight),Bleft( { – 1,0,2}
ight) in d) và (A,B in left( P
ight).)
Chọn (D).
Bài 30. Cho điểm A(1; 1; 1) và đường thẳng
(d:left{ matrix{
x = 6 – 4t hfill cr
y = – 2 – t hfill cr
z = – 1 + 2t. hfill cr}
ight.)
Hình chiếu của A trên d có tọa độ là
(A) (left( {2; – 3;1} ight);) (B) (left( {2; – 3; – 1} ight);)
(C) ((2; 3; 1)); (D) (left( { – 2;3;1} ight).)
Giải
Giả sử (Hleft( {6 – 4t, – 2 – t, – 1 + 2t} ight)) là hình chiếu của A trên d. Ta có (overrightarrow {AH} )vuông góc với (overrightarrow u = left( { – 4, – 1,2} ight)) (là vectơ chỉ phương của d).
Ta có (overrightarrow {AH} = left( {5 – 4t, – 3 – t, – 2 + 2t}
ight).)
(overrightarrow {AH} .overrightarrow u = 0 Leftrightarrow – 4left( {5 – 4t}
ight) + 3 + t + 2left( { – 2 + 2t}
ight) = 0 Leftrightarrow t = 1.)
Vậy (Hleft( {2, – 3,1}
ight).)
Chọn (A).
Bài 31. Cho tứ diện ABCD có A(1; 0; 0), B(1; 1; 0), C(0; 1; 0) và D(0; 0; 2).
Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và BD.
Một học sinh làm như sau:
Bước 1: (overrightarrow {AC} = left( { – 1;1;0} ight),,,overrightarrow {BD} = left( { – 1; – 1;2} ight),,,overrightarrow {AB} = left( {0;1;0} ight).)
Bước 2: (left[ {overrightarrow {AC} ,overrightarrow {BD} } ight] = left( {2;2;2} ight)).
Bước 3: (dleft( {AC,BD} ight) = {{left| {left[ {overrightarrow {AC} ,overrightarrow {BD} } ight].overrightarrow {AB} } ight|} over {left| {left[ {overrightarrow {AC} ,overrightarrow {BD} } ight]} ight|}} = {2 over {sqrt {12} }} = {{sqrt 3 } over 3}.)
Bài giải trên đúng hay sai? Nếu sai thì sai ở bước nào?
(A) Đúng; (B) Sai ở bước 1;
(C) Sai ở bước 2; (D) Sai ở bước 3.
Giải
Bài toán trên đúng.
Chọn (A).
Bài 32. Cho (left| {overrightarrow u } ight| = 2,left| {overrightarrow v } ight| = 1,left( {overrightarrow u ,overrightarrow v } ight) = {pi over 3}.) Góc giữa vectơ (overrightarrow u ) và (overrightarrow u – overrightarrow v ) bằng:
(A) ({30^0}) (B) ({45^0})
(C) ({60^0}) (D) ({90^0})
Giải
Ta có
(eqalign{
& overrightarrow u .overrightarrow v = left| {overrightarrow u }
ight|.left| {overrightarrow v }
ight|cos left( {overrightarrow u ,overrightarrow v }
ight) = 2.1.{1 over 2} = 1 cr
& Rightarrow overrightarrow v left( {overrightarrow u – overrightarrow v }
ight) = overrightarrow u .overrightarrow v – {left| {overrightarrow v }
ight|^2} = 1 – 1 = 0 cr
& Rightarrow overrightarrow v ot left( {overrightarrow u – overrightarrow v }
ight). cr} )
Chọn (D).
Bài 33. Cho (left| {overrightarrow u } ight| = 2,left| {overrightarrow v } ight| = 5,left( {overrightarrow u ,overrightarrow v } ight) = {pi over 6}.) Độ dài vectơ (left[ {overrightarrow u ,overrightarrow v } ight]) bằng:
(A) 10 (B) 5;
(C) 8; (D) (5sqrt 3 .)
Giải
(left| {left[ {overrightarrow u ,overrightarrow v }
ight]}
ight| = left| {overrightarrow u }
ight|.left| {overrightarrow v }
ight|.sin left( {overrightarrow u ,overrightarrow v }
ight) = 2.5.{1 over 2} = 5.)
Chọn (B).
Bài 34. Mặt phẳng (2x – 3y + z – 1 = 0) cắt các trục tọa độ tại các điểm:
(A) (left( {{1 over 2};0;0}
ight),,,,,left( {0; – {1 over 3};0}
ight),,,,,left( {0;0;1}
ight);)
(B) (left( {1;0;0}
ight),,,,,left( {0;{1 over 3};0}
ight),,,,,left( {0;0;1}
ight);)
(C) (left( {{1 over 2};0;0}
ight),,,,,left( {0;{1 over 3};0}
ight),,,,,left( {0;0;1}
ight);)
(D) (left( {{1 over 2};0;0}
ight),,,,,left( {0; – {1 over 3};0}
ight),,,,,left( {0;0; – 1}
ight).)
Giải
(eqalign{
& y = z = 0 Rightarrow x = {1 over 2},x = z = 0 Rightarrow y = – {1 over 3}. cr
& x = y = 0 Rightarrow z = 1. cr} )
Chọn (A).
Bài 35. Cho đường thẳng
(d:left{ matrix{
x = – {9 over 5} – t hfill cr
y = 5t hfill cr
z = {7 over 5} + 3t, hfill cr}
ight.) và mặt phẳng (left( P
ight):3x – 2y + 3z – 1 = 0.) Gọi d’ là hình chiếu của d trên (P). Trong các vectơ sau, vectơ nào không phải là vectơ chỉ phương của d’ ?
(A) (left( {5; – 51;39} ight);)
(B) (left( {10; – 102; – 78} ight);)
(C) (left( { – 5;51;39} ight);)
(D) (left( {5;51;39} ight).)
Giải
Vì ba vectơ của (A), (B), (C) cùng phương nên chọn (D).
Bài 36. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng 1. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của A’B’, BC, DD’. Chứng minh rằng (AC’ ot left( {MNP} ight).)
Một học sinh làm như sau:
Bước 1: Chọn hệ trục tọa độ như hình 71;
Khi đó A(0; 0; 0), C’(1; 1; 1),
(M = left( {{1 over 2};0;1}
ight),Nleft( {1;{1 over 2};0}
ight),Pleft( {0;1;{1 over 2}}
ight).)
Bước 2: (overrightarrow {AC’} = left( {1;1;1}
ight),overrightarrow {MN} = left( {{1 over 2};{1 over 2}; – 1}
ight),overrightarrow {MP} = left( { – {1 over 2};1; – {1 over 2}}
ight).)
Bước 3:
(left{ matrix{
overrightarrow {AC’} .overrightarrow {MN} = 0 hfill cr
overrightarrow {AC’} .overrightarrow {MP} = 0 hfill cr}
ight. Rightarrow AC’ ot left( {MNP}
ight).)
Bài giải trên đúng hay sai? Nếu sai thì sai ở bước nào?
(A) Đúng; (B) Sai ở bước 1;
(C) Sai ở bước 2; (D) Sai ở bước 3.
Giải
Bài toán trên giải đúng
chọn A
Bài 37. Cho đường thẳng
(d:left{ matrix{
x = 0 hfill cr
y = t hfill cr
z = 2 – t. hfill cr}
ight.)
Phương trình đường vuông góc chung của d và trục Ox là:
(A)
(left{ matrix{
x = 1 hfill cr
y = t hfill cr
z = t,; hfill cr}
ight.)
(B)
(left{ matrix{
x = 0 hfill cr
y = 2t hfill cr
z = t,; hfill cr}
ight.)
(C)
(left{ matrix{
x = 0 hfill cr
y = 2 – t hfill cr
z = t,; hfill cr}
ight.)
(D)
(left{ matrix{
x = 0 hfill cr
y = t hfill cr
z = t. hfill cr}
ight.)
Giải
Phương trình tham số của trục Ox là
(left{ matrix{
x = t hfill cr
y = 0 hfill cr
z = 0 hfill cr}
ight.)
Lấy (Pleft( {0,t,2 – t}
ight) in d) và (Q’left( {t’,0,0}
ight) in {
m{Ox}}{
m{.}})
(overrightarrow {PQ} = left( {t’, – t,t – 2}
ight),) d có vectơ chỉ phương (overrightarrow u = left( {0,1, – 1}
ight).)
PQ là đường vuông góc chung của d và trục Ox
( Leftrightarrow left{ matrix{
overrightarrow {PQ} .overrightarrow u = 0 hfill cr
overrightarrow {PQ} .overrightarrow i = 0 hfill cr}
ight. Leftrightarrow left{ matrix{
– t – t + 2 = 0 hfill cr
t’ = 0 hfill cr}
ight. Leftrightarrow left{ matrix{
t = 1 hfill cr
t’ = 0 hfill cr}
ight..)
Vậy (Pleft( {0,1,1}
ight),Qleft( {0,0,0}
ight).)
PQ có phương trình
(left{ matrix{
x = 0 hfill cr
y = t hfill cr
z = t hfill cr}
ight..)
Chọn (D).
Bài 38. Cho mặt phẳng (P): (x – 2y – 3z + 14 = 0) và điểm (Mleft( {1; – 1;1} ight)). Tọa độ của điểm M’ đối xứng với M qua mp(P) là
(A) (left( { – 1;3;7} ight);)
(B) (left( {1; – 3;7} ight);)
(C) (left( {2; – 3; – 2} ight);)
(D) (left( {2; – 1;1} ight).)
Giải
(P) có vectơ pháp tuyến (overrightarrow n = left( {1, – 2, – 3}
ight).)
(M’left( {x,y,z}
ight)) đối xứng với M qua mp(P) khi và chỉ khi (overrightarrow {MM’} ) cùng phương với (overrightarrow n ) và trung điểm I của MM’ nằm trên (P).
Ta có hệ:
(left{ matrix{
{{x – 1} over 1} = {{y + 1} over { – 2}} = {{z – 1} over { – 3}} hfill cr
{{x + 1} over 2} – 2{{y – 1} over 2} – 3{{z + 1} over 2} + 14 = 0 hfill cr}
ight. Leftrightarrow left{ matrix{
x = – 1 hfill cr
y = 3 hfill cr
z = 7 hfill cr}
ight..)
Chọn (A).
Bài 39.Cho điểm (Aleft( {0; – 1;3} ight)) và đường thẳng
(d:left{ matrix{
x = 1 + 2t hfill cr
y = 2 hfill cr
z = – t. hfill cr}
ight.)
Khoảng cách từ A đến d bằng:
(A) (sqrt 3 ;) (B) (sqrt {14} ;)
(C) (sqrt 6 ;) (D) (sqrt 8 .)
Giải
d đi qua (M(1, 2, 0)) có vectơ chỉ phương (overrightarrow u = left( {2,0, – 1}
ight).)
Khoảng cách từ A đến d bằng ({{left| {left[ {overrightarrow {AM} ,overrightarrow u }
ight]}
ight|} over {left| {overrightarrow u }
ight|}} = sqrt {14} .)
Chọn (B).
Bài 40. Cho điểm (Mleft( { – 1;2; – 3}
ight).) Gọi ({M_1},{M_2},{M_3}) lần lượt là điểm đối xứng của M qua các mặt phẳng (Oxy), (Oxz), (Oyz). Phương trình (mpleft( {{M_1}{M_2}{M_3}}
ight)) là:
(A) (6x + 2y + 3z + 6 = 0;)
(B) (6x – 2y + 3z + 6 = 0;)
(C) (6x – 3y + 2z + 6 = 0;)
(D) (6x – 3y – 2z + 6 = 0.)
Giải
({M_1}left( { – 1,2,3}
ight),{M_2}left( { – 1, – 2, – 3}
ight),{M_3}left( {1,2, – 3}
ight);mpleft( {{M_1}{M_2}{M_3}}
ight)) qua có vectơ pháp tuyến (overrightarrow n = left[ {overrightarrow {{M_1}{M_2}} ,overrightarrow {{M_1}{M_3}} }
ight].)
Chọn (C).
Bài 41. Cho mặt cầu (left( S ight):{left( {x – 1} ight)^2} + {left( {y + 3} ight)^2} + {left( {z – 2} ight)^2} = 49.) Phương trình nào sau đây là phương trình của mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu (S) ?
(A) (6x + 2y + 3z = 0;)
(B) (2x + 3y + 6z – 5 = 0;)
(C) (6x + 2y + 3z – 55 = 0;)
(D) (x + 2y + 2z – 7 = 0.)
Giải
(S) có tâm (Ileft( {1, – 3,2}
ight),) bán kính R = 7.
(dleft( {I,left( P
ight)}
ight) = 7.)
Chọn (C).
Bài 42. Cho mặt cầu (S): ({x^2} + {y^2} + {z^2} – 2x – 4y – 6z = 0.) Trong ba điểm (0; 0; 0); (1; 2; 3), (2; -1; -1), có bao nhiêu điểm nằm trong mặt cầu (S) ?
(A) 0 ; (B) 1 ;
(C) 2 ; (D) 3.
Giải
Lần lượt thay tọa độ ba điểm đã cho vào (S). Ta có (O in left( S ight).)
Chọn (B).
