Bài 23 trang 90 SGK Hình học 12 Nâng cao, Viết phương trình mặt phẳng song song với mặt phẳng và tiếp xúc với mặt cầu có phương trình:...

Bài 23. Viết phương trình mặt phẳng song song với mặt phẳng (4x + 3y – 12z + 1 = 0) và tiếp xúc với mặt cầu có phương trình: ({x^2} + {y^2} + {z^2} – 2x – 4y – 6z – 2 = 0)

Giải

Ta có ({x^2} + {y^2} + {z^2} – 2x – 4y – 6z – 2 = 0 Leftrightarrow {left( {x – 1} ight)^2} + {left( {y – 2} ight)^2} + {left( {z – 3} ight)^2} = 16).
Mặt cầu có tâm (Ileft( {1;2;3} ight)) bán kính R = 4.
Mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng đã cho nên có phương trình (4x + 3y – 12z + D = 0) với (D e 1).
Mp(P) tiếp xúc với mặt cầu khi và chỉ khi khoảng cách d từ điểm I đến mp(P) bằng bán kính R.

(d = {{left| {4 + 6 – 36 + D} ight|} over {sqrt {16 + 9 + 144} }} = 4 Leftrightarrow {{left| { – 26 + D} ight|} over {13}} = 4 Leftrightarrow left[ matrix{
– 26 + D = 12 hfill cr
– 26 + D = – 12 hfill cr} ight. Leftrightarrow left[ matrix{
D = 78 hfill cr
D = – 26 hfill cr} ight.)

Vậy có hai mặt phẳng thỏa yêu cầu là: (4x + 3y – 12z + 78 = 0,,;,,4x + 3y – 12z – 26 = 0)