Bài 19 trang 90 SGK Hình học 12 Nâng cao, Tìm tập hợp các điểm cách đều hai mặt phẳng trong mỗi trường hợp sau:...

Bài 19. Tìm tập hợp các điểm cách đều hai mặt phẳng (left( alpha  ight)) và (left( {alpha ‘} ight)) trong mỗi trường hợp sau:

(eqalign{
& a),,left( alpha ight):2x – y + 4z + 5 = 0,,,left( {alpha ‘} ight):3x + 5y – z – 1 = 0 cr
& b),,left( alpha ight):2x + y – 2z – 1 = 0,,,left( {alpha ‘} ight):6x – 3y + 2z – 2 = 0 cr
& c),,left( alpha ight):x + 2y + z – 1 = 0,,,left( {alpha ‘} ight):x + 2y + z + 5 = 0 cr} )

Giải
a) Điểm (Mleft( {x,y,z} ight)) cách đều hai mặt phẳng đã cho khi và chỉ khi:

(eqalign{
& {{left| {2x – y + 4z + 5} ight|} over {sqrt {4 + 1 + 16} }} = {{left| {3x + 5y – z – 1} ight|} over {sqrt {9 + 25 + 1} }} cr
& Leftrightarrow sqrt 5 left| {2x – y + 4z + 5} ight| = sqrt 3 left| {3x + 5y – z – 1} ight| cr
& Leftrightarrow sqrt 5 left( {2x – y + 4z + 5} ight) = pm sqrt 3 left( {3x + 5y – z – 1} ight) cr} )

Vậy tập hợp các điểm M là hai mặt phẳng:

(eqalign{
& left( {2sqrt 5 – 3sqrt 3 } ight)x – left( {sqrt 5 + 5sqrt 3 } ight)y + left( {4sqrt 5 + sqrt 3 } ight)z + 5sqrt 5 + sqrt 3 = 0 cr
& left( {2sqrt 5 + 3sqrt 3 } ight)x – left( {sqrt 5 – 5sqrt 3 } ight)y + left( {4sqrt 5 – sqrt 3 } ight)z + 5sqrt 5 – sqrt 3 = 0 cr} )

b) Điểm (Mleft( {x,y,z} ight)) cách đều hai mặt phẳng đã cho khi và chỉ khi:

(eqalign{
& {{left| {2x + y – 2z – 1} ight|} over {sqrt {4 + 1 + 4} }} = {{left| {6x – 3y + 2z – 2} ight|} over {sqrt {36 + 9 + 4} }} cr
& Leftrightarrow left[ matrix{
7left( {2x + y – 2z – 1} ight) = 3left( {6x – 3y + 2z – 2} ight) hfill cr
7left( {2x + y – 2z – 1} ight) = – 3left( {6x – 3y + 2z – 2} ight) hfill cr} ight. Leftrightarrow left[ matrix{
– 4x + 16y – 20z – 1 = 0 hfill cr
32x – 2y – 8z – 13 = 0 hfill cr} ight. cr} )

Tập hợp các điểm M là hai mặt phẳng có phương trình:

( – 4x + 16y – 20z – 1 = 0,,;,,32x – 2y – 8z – 13 = 0).

c) Điểm (Mleft( {x,y,z} ight)) cách đều hai mặt phẳng đã cho khi và chỉ khi:

(eqalign{
& {{left| {x + 2y + z – 1} ight|} over {sqrt {1 + 4 + 1} }} = {{left| {x + 2y + z + 5} ight|} over {sqrt {1 + 4 + 1} }} cr
& Leftrightarrow left[ matrix{
x + 2y + z – 1 = x + 2y + z + 5 hfill cr
x + 2y + z – 1 = – x – 2y – z – 5 hfill cr} ight. Leftrightarrow 2x + 4y + 2z + 4 = 0 cr} )

Tập hợp các điểm M là một mặt phẳng có phương trình : (x + 2y + z + 2 = 0).