Bài 27 trang 103 SGK Hình học 12 Nâng cao, Cho đường thẳng và mặt phẳng . a) Tìm một vectơ chỉ phương của d và một điểm nằm trên d. b)...

Bài 27. Cho đường thẳng 

(d:left{ matrix{
x = t hfill cr
y = 8 + 4t hfill cr
z = 3 + 2t hfill cr} ight.)

và mặt phẳng (left( P ight):x + y + z – 7 = 0).
a) Tìm một vectơ chỉ phương của d và một điểm nằm trên d.
b) Viết phương trình mặt phẳng đi qua d và vuông góc với mp(P).
c) Viết phương trình hình chiếu vuông góc của d trên mp(P).

Giải

a) Một vectơ chỉ phương của d là (overrightarrow u  = left( {1;4;2} ight)). Cho t = 0 ta có một điểm ({M_0}left( {0;8;3} ight)) nằm trên d.
b) Vectơ pháp tuyến của mp(P) là ({overrightarrow n _P} = left( {1;1;1} ight)). Gọi (left( alpha  ight))là mặt phẳng đi qua d và vuông góc với cả (overrightarrow u ) và ({overrightarrow n _P}) nên ta lấy ({overrightarrow n _{left( alpha  ight)}} = left[ {overrightarrow u ;{{overrightarrow n }_P}} ight] = left( {2;1; – 3} ight)). (Mpleft( alpha  ight)) đi qua ({M_0}left( {0;8;3} ight)) và có vectơ pháp tuyến ({overrightarrow n _alpha } = left( {2;1; – 3} ight)) nên có phương trình là: (2left( {x – 0} ight) + 1left( {y – 8} ight) – 3left( {z – 3} ight) = 0 Leftrightarrow 2x + y – 3z + 1 = 0)
c) Vì d không vuông góc với (P) nên hình chiếu của d trên (P) là đường thẳng d’, d’ là giao tuyến của (left( alpha  ight)) và (P): 

(left{ matrix{
x + y + z – 7 = 0 hfill cr
2x + y – 3z + 1 = 0 hfill cr} ight.)

Cho z = 0 ta có x = – 8; y = 15, d’ qua A(– 8; 15; 0).
d’ có phương trình tham số là: 

(left{ matrix{
x = – 8 + 4t hfill cr
y = 15 + 5t hfill cr
z = – t hfill cr} ight.)