Câu 98 trang 21 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1

Chứng minh các đẳng thức

Chứng minh các đẳng thức:

a) (sqrt {2 + sqrt 3 }  + sqrt {2 - sqrt 3 }  = sqrt 6 )

b) (sqrt {{4 over {{{left( {2 - sqrt 5 } ight)}^2}}}}  - sqrt {{4 over {{{left( {2 + sqrt 5 } ight)}^2}}}}  = 8.)

Gợi ý làm bài

a) Ta có: (4 > 3 Rightarrow sqrt 4  > sqrt  3  Rightarrow 2 > sqrt 3  > 0)

 Suy ra: (sqrt {2 + sqrt 3 }  + sqrt {2 - sqrt 3 }  > 0)

Ta có: 

({left( {sqrt {2 + sqrt 3 }  + sqrt {2 - sqrt 3 } } ight)^2} = 2 + sqrt 3  + 2sqrt {2 + sqrt 3 } .sqrt {2 - sqrt 3 }  + 2 - sqrt 3 )

( = 4 + 2sqrt {4 - 3}  = 4 + 2sqrt 1  = 4 + 2 = 6)

({left( {sqrt 6 } ight)^2} = 6)

Vì ({left( {sqrt {2 + sqrt 3 }  + sqrt {2 - sqrt 3 } } ight)^2} = {left( {sqrt 6 } ight)^2}) nên (sqrt {2 + sqrt 3 }  + sqrt {2 - sqrt 3 }  = sqrt 6 )

b) Ta có:

(sqrt {{4 over {{{left( {2 - sqrt 5 } ight)}^2}}}}  - sqrt {{4 over {{{left( {2 + sqrt 5 } ight)}^2}}}}  = {{sqrt 4 } over {sqrt {{{left( {2 - sqrt 5 } ight)}^2}} }} - {{sqrt 4 } over {sqrt {{{left( {2 + sqrt 5 } ight)}^2}} }})

( = {2 over {left| {2 - sqrt 5 } ight|}} - {2 over {left| {2 + sqrt 5 } ight|}} = {2 over {sqrt 5  - 2}} - {2 over {sqrt 5  + 2}})

( = {{2left( {sqrt 5  + 2} ight) - 2left( {sqrt 5  - 2} ight)} over {left( {sqrt 5  + 2} ight)left( {sqrt 5  - 2} ight)}} = {{2sqrt 5  + 4 - 2sqrt {5 + 4} } over {5 - 4}} = 8)

Vế trái bằng vế phải nên đẳng thức được chứng minh.

Sachbaitap.com