Câu 4 trang 109 SGK Đại số 10 nâng cao, Hãy so sánh các kết quả sau đây:...

Hãy so sánh các kết quả sau đây:

a) (sqrt {2000}  + sqrt {2005} ) và (sqrt {2002}  + sqrt {2003} ) (không dùng bảng số hoặc máy tính)

b) (sqrt {a + 2}  + sqrt {a + 4} ) và (sqrt a  + sqrt {a + 6} ,,(a ge 0))

Đáp án

a) Giả sử: (sqrt {2000}  + sqrt {2005} , < sqrt {2002}  + sqrt {2003} ,,,,,(1)) 

Ta có:

(eqalign{
& (1) Leftrightarrow ,{(sqrt {2000} + sqrt {2005} )^2}, < {(sqrt {2002} + sqrt {2003} ,)^2} cr
& Leftrightarrow 4005 + 2sqrt {2000.2005} < 4005 + 2sqrt {2002.2003} cr
& Leftrightarrow 2000.2005 < 2002.2003 cr
& Leftrightarrow 2000.2005 < (2000 + 2)(2005 – 2) cr
& Leftrightarrow 2000.2005 < 2000.2005 + 6 cr} ) 

Ta thấy kết quả suy ra luôn đúng.

 Do đó: (sqrt {2000}  + sqrt {2005}  < sqrt {2002}  + sqrt {2003} )

b) Giả sử:  

(sqrt {a + 2}  + sqrt {a + 4} ≤  sqrt a  + sqrt {a + 6} ,,(a ge 0)) (2)

Ta có:

(eqalign{
& (2) Leftrightarrow {(sqrt {a + 2} + sqrt {a + 4} )^2} le {(sqrt a + sqrt {a + 6} )^2} cr
& Leftrightarrow 2a + 6 + 2sqrt {(a + 2)(a + 4)} le 2a cr&;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;+ 6 + 2sqrt {a(a + 6)} cr
& Leftrightarrow (a + 2)(a + 4) le a(a + 6) cr
& Leftrightarrow {a^2} + 6a + 8 le {a^2} + 6a cr
& Leftrightarrow 8 le 0 cr} )

Ta thấy : (8 ≤ 0) là vô lý

Vậy  (sqrt {a + 2}  + sqrt {a + 4}  > sqrt a  + sqrt {a + 6} ,,(a ge 0))