Câu 8 trang 178 Giải tích 11: Các bước chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học...

Bài 8. Nêu rõ các bước chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học và cho ví dụ.

Trả lời:

_ Các bước của phương pháp chứng minh quy nạp:

+ B1: Chứng minh bài toán đúng với (n = 1)

+ B2: Giả thuyết bài toán đúng với (n = k)  (gọi là giả thiết quy nạp)

+ B3. Chứng minh bài toán đúng v4ới (n = k + 1)

Khi đó kết luận bài toán đúng với mọi (nin {mathbb N}^*)

_ Ví dụ: Chứng minh rằng: với mọi (nin {mathbb N}^*) ta có:

 ({1^2} + {2^2} + {3^2} + … + {n^2} = {{n(n + 1)(2n + 1)} over 6}(1))

Giải

_ Khi (n = 1) thì (1) trở thành ({1^2} = {{1(1 + 1)(2 + 1)} over 6}) đúng.

_ Giả sử (1) đúng khi (n = k), tức là:

 ({1^2} + {2^2} + {3^2} + …. + {k^2} = {{k(k + 1)(2k + 1)} over 6})

_ Ta chứng minh (1) đúng khi (n = k + 1), tức là phải chứng minh:

 ({1^2} + {2^2} + {3^2} + …. + {(k + 1)^2} = {{(k + 1)(k + 2)(2k + 3)} over 6})

_ Thật vậy :

(eqalign{
& {1^2} + {2^2} + {3^2} + …. + {k^2} + {(k + 1)^2} cr
& = {{k(k + 1)(2k + 1)} over 6} + {(k + 1)^2} = {{(k + 1)k(2k + 1) + 6(k + 1)} over 6} cr
& = {{(k + 1)(2{k^2} + 7k + 6)} over 6} = {{(k + 1)(k + 2)(2k + 3)} over 6} cr} )

Vậy (1) đúng khi (n = k + 1).

Kết luận: (1) đúng với (nin {mathbb N}^*)