Câu 79 trang 17 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1

Cho các số x và y có dạng

Cho các số x và y có dạng: (x = {a_1}sqrt 2  + {b_1}) và (x = {a_2}sqrt 2  + {b_2}), trong đó ({a_1},{a_2},{b_1},{b_2}) là các số hữu tỉ. Chứng minh:

a) x + y và x,y cũng có dạng (asqrt 2  + b) với a và b là số hữu tỉ.

b) ({x over y}) với (y e 0) cũng có dạng (asqrt 2  + b) với a và b là số hữu tỉ.

Gợi ý làm bài

a) Ta có:

(eqalign{
& x + y = ({a_1}sqrt 2 + {b_1}) + ({a_2}sqrt 2 + {b_2}) cr
& = ({a_1} + {a_2})sqrt 2 + ({b_1} + {b_2}) cr} )

Vì ({a_1},{a_2},{b_1},{b_2}) là các số hữu tỉ nên ({a_1} + {a_2},{b_1} + {b_2}) cũng là số hữu tỉ.

Lại có: 

(eqalign{
& xy = ({a_1}sqrt 2 + {b_1})({a_2}sqrt 2 + {b_2}) cr
& = 2{a_1}{a_2} + {a_1}{b_2}sqrt 2 + {a_2}{b_1}sqrt 2 + {b_1}{b_2} cr} )

( = ({a_1}{b_2} + {a_2}{b_1})sqrt 2  + (2{a_1}{a_2} + {b_1}{b_2}))

Vì ({a_1},{a_2},{b_1},{b_2}) là các số hữu tỉ nên ({a_1}{b_2} + {a_2}{b_1}), (2{a_1}{a_2} + {b_1}{b_2}) cũng là số hữu tỉ. 

b) Ta có:

(eqalign{
& {x over y} = {{{a_1}sqrt 2 + {b_1}} over {{a_2}sqrt 2 + {b_2}}} cr
& = {{({a_1}sqrt 2 + {b_1})({a_2}sqrt 2 - {b_2})} over {{{({a_2}sqrt 2 )}^2} - {b_2}^2}} cr} )

( = {{2{a_1}{a_2} - {a_1}{b_2}sqrt 2  + {a_2}{b_1}sqrt 2  - {b_1}{b_2}} over {2{a_2}^2 - {b_2}^2}})

(= sqrt 2 {{{a_2}{b_1} - {a_1}{b_2}} over {2{a_2}^2 - {b_2}^2}} + {{2{a_1}{a_2} - {b_1}{b_2}} over {2{a_2}^2 - {b_2}^2}})

Vì (y e 0) nên ({a_2}) và ({b_2}) không đồng thời bằng 0

Suy ra: (2{a_2}^2 - {b_2}^2) ( e 0)

Nếu (2{a_2}^2 - {b_2}^2 = 0) thì (sqrt 2 {{{b_2}} over {{a_2}}})

Điều này mâu thuẫn với (sqrt 2 ) là số vô tỉ.

Vậy ({{{a_2}{b_1} - {a_1}{b_2}} over {2{a_2}^2 - {b_2}^2}}); ({{2{a_1}{a_2} - {b_1}{b_2}} over {2{a_2}^2 - {b_2}^2}}) đều là số hữu tỉ.

Sachbaitap.com