Câu 3 trang 114 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao

Giải bài tập

Cho hình lăng trụ ABC. A’B’C’. Gọi I và J lần lượt là trung điểm của BB’ và A’C’. Điểm K thuộc B’C’ sao cho (overrightarrow {KC'}  =  - 2overrightarrow {KB'} ) . Chứng minh rằng bốn điểm A, I, J, K cùng thuộc một mặt phẳng.

Trả lời

 

Đặt (overrightarrow {AA'}  = overrightarrow a ,overrightarrow {AB}  = overrightarrow b ,overrightarrow {AC}  = overrightarrow c .)

Ta có:

(eqalign{  & overrightarrow {AI}  = {1 over 2}left( {overrightarrow {AB}  + overrightarrow {AB'} } ight)  cr  &  = {1 over 2}left( {overrightarrow b  + overrightarrow a  + overrightarrow b } ight)  cr  &  = {1 over 2}left( {overrightarrow a  + 2overrightarrow b } ight);,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,left( 1 ight)  cr  & overrightarrow {AJ}  = {1 over 2}left( {overrightarrow {AA'}  + overrightarrow {AC'} } ight)  cr  &  = {1 over 2}left( {overrightarrow a  + overrightarrow a  + overrightarrow c } ight)  cr  &  = {1 over 2}left( {2overrightarrow a  + overrightarrow c } ight).,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,left( 2 ight)  cr  & overrightarrow {AK}  = {{overrightarrow {AC'}  + 2overrightarrow {AB'} } over 3}  cr  &  = {{overrightarrow a  + overrightarrow c  + 2left( {overrightarrow a  + overrightarrow b } ight)} over 3}  cr  &  = {{3overrightarrow a  + 2overrightarrow b  + overrightarrow c } over 3}.,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,left( 3 ight) cr} )

Từ (1), (2), (3) ta có (overrightarrow {AK}  = {2 over 3}left( {overrightarrow {AI}  + overrightarrow {AJ} } ight))

Vậy (overrightarrow {AI} ,overrightarrow {AJ} ,overrightarrow {AK} ) đồng phẳng, tức là các điểm A, I, J, K cùng thuộc một mặt phẳng.

Chú ý: Có thể chứng minh các điểm A, I, J, K thuộc một mặt phẳng bằng cách chứng minh AI và JK cắt nhau tại điểm M.

Sachbaitap.com