Câu 6 trang 114 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao

Giải bài tập

Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Gọi ({D_1},{D_2},{D_3})  lần lượt là điểm đối xứng của điểm D’ qua A, B’, C. Chứng tỏ rằng B là trọng tâm của tứ diện ({D_1}{D_2}{D_3}D').

Trả lời:

 

Cách 1.

Đặt (overrightarrow {AA'}  = overrightarrow a ,,,overrightarrow {AB}  = overrightarrow {b,} ,,overrightarrow {AD}  = overrightarrow c )

Từ giả thiết, ta có

(overrightarrow {B{ m{D}}'}  + overrightarrow {B{{ m{D}}_1}}  = 2overrightarrow {BA}  =  - 2overrightarrow b )

mà (overrightarrow {B{ m{D}}'}  = overrightarrow a  - overrightarrow b  + overrightarrow c )

Vậy (overrightarrow {B{{ m{D}}_1}}  =  - overrightarrow a  - overrightarrow b  - overrightarrow {c.} )

Lập luận tương tự như trên, ta có (overrightarrow {B{{ m{D}}_2}}  = overrightarrow a  + overrightarrow b  - overrightarrow c )  và (overrightarrow {B{{ m{D}}_3}}  =  - overrightarrow a  + overrightarrow b  + overrightarrow c )

Vậy (overrightarrow {B{{ m{D}}_1}}  + overrightarrow {B{{ m{D}}_2}}  + overrightarrow {B{{ m{D}}_3}}  + overrightarrow {B{ m{D}}'}  = overrightarrow 0 )

Điều này chứng tỏ B là trọng tâm của tứ diện ({D_1}{D_2}{D_3}D') .

Cách 2.

Gọi I là giao điểm của BD’ và mp(AB’C) thì D’I = 2IB.

Gọi J là giao điểm của BD’ với mp (D₁D₂D₃), do D₁, D₂, D₃ là các điểm đối xứng của D’ lần lượt qua A, B’, C nên IJ = ID’ hay (D'B = {3 over 4}D'J).

Mặt khác I là trọng tâm tam giác AB’C nên J là trọng tâm tam giác D₁D₂D₃. Từ đó B là trọng tâm của tứ diện ({D_1}{D_2}{D_3}D').

Sachbaitap.com