Câu 7 trang 99 SGK Hình học 10: Cho tam giác ABC với H là trực tâm...

Bài 7. Cho tam giác (ABC) với (H) là trực tâm. Biết phương trình của đường thẳng (AB, BH) và (AH) lần lượt là: (4x + y – 12 = 0, 5x – 4y – 15 = 0) và (2x + 2y – 9 = 0)

Hãy viết phương trình hai đường thẳng chứa hai cạnh còn lại và đường cao thứ ba.

Trả lời:

Tọa độ đỉnh (A) là nghiệm của hệ:

(left{ matrix{
4x + y – 12 = 0 hfill cr
2x + 2y – 9 = 0 hfill cr} ight. Rightarrow A({5 over 2},2))

Đường thẳng (BH : 5x – 4y – 15 = 0) có vecto chỉ phương (overrightarrow u  = (4,5))

Cạnh (AC) vuông góc với (BH) nên nhận vecto u làm một vecto pháp tuyến, (AC) đi qua (A({5 over 2},2)) và có vecto pháp tuyến (overrightarrow u  = (4,5)) nên có phương trình là:

 (4.(x – {5 over 2}) + 5(y – 2) = 0 Leftrightarrow 4x + 5y – 20 = 0)

Tương tự, tọa độ đỉnh (B) là nghiệm của hệ:

(left{ matrix{
4x + y – 12 = 0 hfill cr
6x – 4y – 15 = 0 hfill cr} ight. Rightarrow B(3,0))

(AH: 2x + 2y – 9 = 0) có vecto chỉ phương (overrightarrow v  = ( – 2,2) = 2( – 1,1))

(BC) vuông góc với (AH) nên nhận vecto (overrightarrow {v’}  = ( – 1,1)) làm vecto pháp tuyến, phương trình (BC) là:

( – 1(x – 3) + (y – 0) = 0 Leftrightarrow x – y – 3 = 0)

Tọa độ (H) là nghiệm của hệ phương trình:

(left{ matrix{
5x – 4y – 15 = 0 hfill cr
2x + 2y – 9 = 0 hfill cr} ight. Leftrightarrow H({{11} over 3},{5 over 6}))

Đường cao (CH) đi qua (H) và vuông góc với (AB)

Hoàn toàn tương tự, ta viết được phương trình của (CH):

(CH: 3x – 12y – 1= 0)