Câu 5 trang 99 SGK Hình học 10: Chứng minh rẳng trong mọi tam giác ABC ta đều có...

Bài 5. Chứng minh rẳng trong mọi tam giác ABC ta đều có:

a) (a = b cos C + c cos B)

b) (sin A = sin B.sin C + sin C.cos B)

c) (h_a= 2R.sin Bsin C)

Trả lời:

a) Trong tam giác (ABC), theo định lí cosin ta có:

(left{ matrix{
cos C = {{{a^2} + {b^2} – {c^2}} over {2ab}} hfill cr
cos B = {{{a^2} + {c^2} – {b^2}} over {2ac}} hfill cr} ight.)

Ta có:

(eqalign{
& bcos C + ccos B = b({{{a^2} + {b^2} – {c^2}} over {2ab}}) + c({{{a^2} + {c^2} – {b^2}} over {2ac}}) cr
& = {{2{a^2} + {b^2} – {c^2} + {c^2} – {b^2}} over {2a}} cr} )

Vậy (a = b cos C + c cos B)

b) Trong tam giác (ABC) , theo định lí sin:

(eqalign{
& {a over {sin A}} = {b over {{mathop{ m sinB} olimits} }} = {c over {sin C}} = 2R cr
& Rightarrow sin A = {a over {2R}},sin B = {b over {2R}},sin C = {c over {2R}} cr} )

 Ta có:

(eqalign{
& sin Bcos C + sin Ccos B cr
& = {b over {2R}}.{{{a^2} + {b^2} – {c^2}} over {2ab}} + {c over {2R}}.{{{a^2} + {c^2} – {b^2}} over {2ac}} cr
& = {a over {2R}} = sin A cr} )

c) Ta lại có: (a.{h_a} = 2S Rightarrow {h_a} = {{2S} over a})

mà (S = {{abc} over {4R}} Rightarrow {h_a} = {{2bc} over {4R}} = {{bc} over {2R}}(2))

Thế (b = 2RsinB, c = 2Rsin C) vào (2) ta được:

({h_a} = {{2R{mathop{ m sinB} olimits} .2RsinC} over {2R}} Rightarrow {h_a} = 2Rsin Bsin C)