Câu 2 trang 98 SGK Hình học 10: Cho tam giác ABC có hai điểm M,N sao cho...

Bài 2. Cho tam giác (ABC) có hai điểm (M,N)  sao cho 

(left{ matrix{
overrightarrow {AM} = alpha overrightarrow {AB} hfill cr
overrightarrow {AN} = eta overrightarrow {AC} hfill cr} ight.)

a) Hãy vẽ (M, N) khi (alpha  = {2 over 3};eta  =  – {2 over 3})

b)  Hãy tìm mối liên hệ giữa (α, β) để (MN//BC)

Trả lời:

a) Ta có:

(eqalign{
& overrightarrow {AM} = {2 over 3}overrightarrow {AB} Leftrightarrow left{ matrix{
overrightarrow {AM} uparrow uparrow overrightarrow {AB} hfill cr
AM = {2 over 3}AB hfill cr} ight. cr
& overrightarrow {AN} = – {2 over 3}overrightarrow {AC} Leftrightarrow left{ matrix{
overrightarrow {AN} uparrow downarrow overrightarrow {AC} hfill cr
AN = {2 over 3}AC hfill cr} ight. cr} )

b) Ta có:

(eqalign{
& overrightarrow {AM} = alpha overrightarrow {AB} cr
& overrightarrow {AN} = eta overrightarrow {AC} cr
& Rightarrow overrightarrow {AM} – overrightarrow {AN} = alpha overrightarrow {AB} – eta overrightarrow {AC} cr
& Rightarrow overrightarrow {MN} = alpha overrightarrow {AB} – eta overrightarrow {AC} cr
& Rightarrow overrightarrow {MN} = alpha (overrightarrow {AB} – {eta over alpha }overrightarrow {AC} ),alpha e 0 cr} )

Ta cũng có: (overrightarrow {BC}  =  – (overrightarrow {AB}  – overrightarrow {AC} ))

Do đó, để (MN // BC) thì

(left{ matrix{
overrightarrow {AB} – overrightarrow {AC} hfill cr
overrightarrow {AB} – {eta over alpha }overrightarrow {AC} hfill cr} ight.)

 phải cùng phương, cho ta ({eta  over alpha } = 1 Rightarrow alpha  = eta )