Câu 7.1, 7.2 trang 107 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 2

Chứng minh IJ song song với AB.

Câu 7.1 trang 107 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 2

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Vẽ các đường cao AI, BK, CL của tam giác ấy.

Gọi H là giao điểm của các đường cao vừa vẽ.

a) Chỉ ra các tứ giác nội tiếp có đỉnh lấy trong số các điểm A, B, C, H, I, K, L

b) Chứng minh (widehat {LBH},widehat {LIH},widehat {KIH}) và (widehat {KCH}) là 4 góc bằng nhau.

c) Chứng minh KB là tia phân giác của (widehat {LKI}).

Giải

 

Vì ∆ABC là tam giác nhọn nên ba đường cao cắt nhau tại điểm H nằm trong tam giác ABC.

a) Tứ giác AKHL có (widehat {AKH} + widehat {ALH} = 90^circ  + 90^circ  = 180^circ )

Tứ giác AKHL nội tiếp.

Tứ giác BIHL có (widehat {BIH} + widehat {BLH} = 90^circ  + 90^circ  = 180^circ )

Tứ giác BIHL nội tiếp.

Tứ giác CIHK có (widehat {CIH} + widehat {CKH} = 90^circ  + 90^circ  = 180^circ )

Tứ giác CIHK nội tiếp.

Tứ giác ABIK có (widehat {AKB} = 90^circ;widehat {AIB} = 90^circ )

K và I nhìn đoạn AB dưới một góc vuông nên tứ giác ABIK nội tiếp. Tứ giác BCKL có (widehat {BKC} = 90^circ;widehat {BLC} = 90^circ )

K và L nhìn đoạn BC dưới một góc vuông nên tứ giác BCKL nội tiếp.

Tứ giác ACIL có (widehat {AIC} = 90^circ;widehat {ALC} = 90^circ )

I và L nhìn đoạn AC dưới một góc vuông nên tứ giác ACIL nội tiếp.

b) Tứ giác BIHL nội tiếp.

( Rightarrow widehat {LBH} = widehat {LIH}) (2 góc nội tiếp cùng chắn cung nhỏ (overparen{LH}))           (1)

Tứ giác CIHK nội tiếp.

( Rightarrow widehat {HIK} = widehat {HCK}) (2 góc nội tiếp cùng chắn cung nhỏ (overparen{HK}))         (2)

Tứ giác BCKL nội tiếp.

( Rightarrow widehat {LBK} = widehat {LCK}) (2 góc nội tiếp cùng chắn cung nhỏ (overparen{LK})) hay (widehat {LBH} = widehat {HCK})                                                                          (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra: (widehat {LKH} = widehat {HKI}). Vậy KB là tia phân giác của (widehat {LKI}.)

Câu 7.2 trang 107 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 2

Cho đường tròn tâm O bán kính R và hai dây AB, CD bất kì. Gọi M là điểm chính giữa của cung nhỏ AB. Gọi E và F tương ứng là giao điểm của MC, MD với dây AB. Gọi I và J tương ứng là giao điểm của DE, CF với đường tròn (O). Chứng minh IJ song song với AB.

Giải

M là điểm chính giữa của cung nhỏ (overparen{AB}).

(overparen{MA}) = (overparen{MB})

(widehat {AEC} = {1 over 2}) (sđ(overparen{AC}) +sđ (overparen{MB})) (góc có đỉnh ở trong đường tròn)

(widehat {CDM} = {1 over 2}) sđ(overparen{MAC}) (tính chất góc nội tiếp) hay (widehat {CDF} = {1 over 2}) sđ(overparen{MA}) + sđ(overparen{AC})

Suy ra: (widehat {AEC} = widehat {CDF})

(widehat {AEC} + widehat {{ m{CEF}}} = 180^circ ) (hai góc kề bù)

Suy ra: (widehat {CDF} + widehat {{ m{CEF}}} = 180^circ ) nên tứ giác CDFE nội tiếp

( Rightarrow widehat {CDE} = widehat {CFE}) (2 góc nội tiếp cùng chắn cung nhỏ (overparen{CE})) hay (widehat {CDI} = widehat {CFE})

Trong đường tròn (O) ta có:

(widehat {CDI} = widehat {CJI}) (2 góc nội tiếp cùng chắn cung nhỏ (overparen{CAI}))

Suy ra: (widehat {CJI} = widehat {CFE})

( Rightarrow ) IJ // AB (vì có cặp góc ở vị trí đồng tâm bằng nhau)

Sachbaitap.com