Câu 64 trang 41 Sách bài tập Toán 8 tập 1: Tìm điều kiện của x để giá trị của biểu thức được xác định và chứng...

Tìm điều kiện của x để giá trị của biểu thức được xác định và chứng minh rằng với điều kiện đó biểu thức không phụ thuộc vào biến :

a. ({{x – {1 over x}} over {{{{x^2} + 2x + 1} over x} – {{2x + 2} over x}}})

b. ({{{x over {x + 1}} + {1 over {x – 1}}} over {{{2x + 2} over {x – 1}} – {{4x} over {{x^2} – 1}}}})

c. ({1 over {x – 1}} – {{{x^3} – x} over {{x^2} + 1}}.left( {{x over {{x^2} – 2x + 1}} – {1 over {{x^2} – 1}}} ight))

d. (left( {{x over {{x^2} – 36}} – {{x – 6} over {{x^2} + 6x}}} ight):{{2x – 6} over {{x^2} + 6x}} + {x over {6 – x}})

Giải:

a.  ({{x – {1 over x}} over {{{{x^2} + 2x + 1} over x} – {{2x + 2} over x}}})

Ta có: (x – {1 over x}) xác định khi x ≠ 0

({{{x^2} + 2x + 1} over x} – {{2x + 2} over x}) xác định khi x ≠ 0

(eqalign{  & {{{x^2} + 2x + 1} over x} – {{2x + 2} over x} e 0 Rightarrow {{{x^2} – 1} over x} e 0 Rightarrow {x^2} – 1 e 0  cr  &  Rightarrow left( {x + 1} ight)left( {x – 1} ight) e 0 Rightarrow x e  – 1;x e 1 cr} )

Vậy với x ≠ 0, x ≠ 1 và x ≠ -1 thì biểu thức xác định.

({{x – {1 over x}} over {{{{x^2} + 2x + 1} over x} – {{2x + 2} over x}}})( = {{{{{x^2} – 1} over x}} over {{{{x^2} – 1} over x}}} = {{{x^2} – 1} over x}.{x over {{x^2} – 1}} = 1)

b.  ({{{x over {x + 1}} + {1 over {x – 1}}} over {{{2x + 2} over {x – 1}} – {{4x} over {{x^2} – 1}}}})

Ta có: ({x over {x + 1}} + {1 over {x – 1}}) xác định khi x + 1 ≠ 0 và x – 1 ≠ 0 ⇒ (x e  pm 1)

({{2x + 2} over {x – 1}} – {{4x} over {{x^2} – 1}}) xác định khi x – 1 ≠ 0 và ({x^2} – 1 e 0 Rightarrow x e  pm 1)

({{2x + 2} over {x – 1}} – {{4x} over {{x^2} – 1}} e 0 Rightarrow {{left( {2x + 2} ight)left( {x + 1} ight) – 4x} over {left( {x – 1} ight)left( {x + 1} ight)}} e 0)

( Rightarrow {{2{x^2} + 2x + 2x + 2 – 4x} over {left( {x – 1} ight)left( {x + 1} ight)}} e 0 Rightarrow {{2{x^2} + 2} over {left( {x + 1} ight)left( {x – 1} ight)}} e 0) mọi x

Vậy điều kiện để biểu thức xác định x ≠ 1 và x ≠ -1

({{{x over {x + 1}} + {1 over {x – 1}}} over {{{2x + 2} over {x – 1}} – {{4x} over {{x^2} – 1}}}})( = {{{{xleft( {x – 1} ight) + left( {x + 1} ight)} over {left( {x + 1} ight)left( {x – 1} ight)}}} over {{{2{x^2} + 2} over {left( {x + 1} ight)left( {x – 1} ight)}}}} = {{{x^2} + 1} over {left( {x + 1} ight)left( {x – 1} ight)}}.{{left( {x + 1} ight)left( {x – 1} ight)} over {2left( {{x^2} + 1} ight)}} = {1 over 2})

c. ({1 over {x – 1}} – {{{x^3} – x} over {{x^2} + 1}}.left( {{x over {{x^2} – 2x + 1}} – {1 over {{x^2} – 1}}} ight))

Biểu thức xác định khi x – 1 ≠ 0, ({x^2} – 2x + 1 e 0)và ({x^2} – 1 e 0)

(eqalign{  & x – 1 e 0 Rightarrow x e 1  cr  & {x^2} – 2x + 1 e 0 Rightarrow {left( {x – 1} ight)^2} e 0 Rightarrow x e 1  cr  & {x^2} – 1 e 0 Rightarrow left( {x + 1} ight)left( {x – 1} ight) e 0 Rightarrow x e  – 1;x e 1 cr} )

Vậy biểu thức xác định với x ≠ -1 và x ≠ 1

Ta có: ({1 over {x – 1}} – {{{x^3} – x} over {{x^2} + 1}}.left( {{x over {{x^2} – 2x + 1}} – {1 over {{x^2} – 1}}} ight))

(eqalign{  &  = {1 over {x – 1}} – {{xleft( {{x^2} – 1} ight)} over {{x^2} + 1}}.left[ {{x over {{{left( {x – 1} ight)}^2}}} – {1 over {left( {x + 1} ight)left( {x – 1} ight)}}} ight]  cr  &  = {1 over {x – 1}} – {{xleft( {x + 1} ight)left( {x – 1} ight)} over {{x^2} + 1}}.{{xleft( {x + 1} ight) – left( {x – 1} ight)} over {left( {x + 1} ight){{left( {x – 1} ight)}^2}}}  cr  &  = {1 over {x – 1}} – {{xleft( {{x^2} + x – x + 1} ight)} over {left( {{x^2} + 1} ight)left( {x – 1} ight)}} = {1 over {x – 1}} – {{xleft( {{x^2} + 1} ight)} over {left( {{x^2} + 1} ight)left( {x – 1} ight)}} = {1 over {x – 1}} – {x over {x – 1}}  cr  &  = {{ – left( {x – 1} ight)} over {x – 1}} =  – 1 cr} )

d. (left( {{x over {{x^2} – 36}} – {{x – 6} over {{x^2} + 6x}}} ight):{{2x – 6} over {{x^2} + 6x}} + {x over {6 – x}})

Biểu thức xác định khi

(eqalign{  & {x^2} – 36 e 0,{x^2} + 6x e 0,6 – x e 0,2x – 6 e 0  cr  & {x^2} – 36 e 0 Rightarrow left( {x – 6} ight)left( {x + 6} ight) e 0 Rightarrow x e 6;x e  – 6  cr  & {x^2} + 6x e 0 Rightarrow xleft( {x + 6} ight) e 0 Rightarrow x e 0;x e  – 6  cr  & 6 – x e 0 Rightarrow x e 6  cr  & 2x – 6 e 0 Rightarrow x e 3 cr} )

Vậy x ≠ 0, x ≠ 3, x ≠ 6 và x ≠ -6 thì biểu thức xác định.

Ta có : (left( {{x over {{x^2} – 36}} – {{x – 6} over {{x^2} + 6x}}} ight):{{2x – 6} over {{x^2} + 6x}} + {x over {6 – x}})

(eqalign{  &  = left[ {{x over {left( {x + 6} ight)left( {x – 6} ight)}} – {{x – 6} over {xleft( {x + 6} ight)}}} ight]:{{2x – 6} over {xleft( {x + 6} ight)}} + {x over {6 – x}}  cr  &  = {{{x^2} – {{left( {x – 6} ight)}^2}} over {xleft( {x + 6} ight)left( {x – 6} ight)}}.{{xleft( {x + 6} ight)} over {2left( {x – 3} ight)}} + {x over {6 – x}} = {{{x^2} – {x^2} + 12x – 36} over {xleft( {x + 6} ight)left( {x – 6} ight)}}.{{xleft( {x + 6} ight)} over {2left( {x – 3} ight)}} + {x over {6 – x}}  cr  &  = {{12left( {x – 3} ight)} over {x – 6}}.{1 over {2left( {x – 3} ight)}} + {x over {6 – x}} = {6 over {x – 6}} – {x over {x – 6}} = {{ – left( {x – 6} ight)} over {x – 6}} =  – 1 cr} )