Câu 5.13 trang 180 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Cho hàm số. Tìm m để

Cho hàm số

                        (fleft( x ight) = {x^3} - 2{x^2} + mx - 3)

Tìm m để

a) (f'left( x ight))  bằng bình phương của một nhị thức bậc nhất;

b) (f'left( x ight) ge 0) với mọi x;

c) (f'left( x ight) < 0) với mọi (x in left( {0;2} ight))  

d) (f'left( x ight) > 0) với mọi (x > 0)

Giải

Với mọi (x in R,) ta có

                        (f'left( x ight) = 3{x^2} - 4x + m)

a) Để (f'(x)) bằng bình phương của một nhị thức bậc nhất ta phải tìm m sao cho (f'(x)) phải là tam thức bậc hai (a{x^2} + bx + c) với hệ số (a > 0) và có nghiệm kép, tức là

(left{ matrix{a = 3 > 0 hfill crDelta ' = 4 - 3m = 0 hfill cr}  ight. Leftrightarrow m = {4 over 3})

b) Để (f'left( x ight) ge 0) với mọi x thì ta phải tìm m sao cho

(left{ matrix{a = 3 > 0 hfill crDelta ' = 4 - 3m le 0 hfill cr}  ight. Leftrightarrow m ge {4 over 3})

c) (h.5.4) Để (f'left( x ight) < 0) với mọi (x in left( {0;2} ight)) thì ta phải tìm m sao cho số 0 và số 2 thuộc đoạn (left[ {{x_1};{x_2}} ight]) (({x_1}) và ({x_2}) là hai nghiệm của của (f'(x))) tức là

(eqalign{& left{ matrix{af'left( 0 ight) le 0 hfill cr af'left( 2 ight) le 0 hfill cr}  ight. Leftrightarrow left{ matrix{3.m le 0 hfill cr3left( {4 + m} ight) le 0 hfill cr}  ight.  cr& ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, Leftrightarrow m le  - 4. cr} )

                                               

d) Để (f'left( x ight) > 0) với mọi (x > 0) thì ta phải xét hai trường hợp sau đây

( ullet ) Trường hợp thứ nhất (h.5.5a)

Ta phải tìm (m)  sao cho tam thức bậc hai (f'left( x ight)) vô nghiệm và có (a > 0,) tức là

(left{ matrix{a = 3 > 0 hfill crDelta ' = 4 - 3m < 0 hfill cr}  ight. Leftrightarrow m > {4 over 3}.)

( ullet ) Trường hợp thứ hai (h.5.5b)

Ta phải tìm (m) sao cho tam thức bậc hai (f'left( x ight)) có (a > 0) đồng thời có hai nghiệm ({x_1}) và ({x_2}) thỏa mãn các điều kiện ({x_1} le {x_2} le 0), tức là

(left{ matrix{a = 3 > 0 hfill crDelta ' = 4 - 3m ge 0 hfill cr af'left( 0 ight) = 3m ge 0 hfill cr{S over 2} - 0 = {2 over 3} le 0,,,,,,left( ext{ loại } ight) hfill cr}  ight.)

Hệ vô nghiệm.

                                               

Chú ý. Về nguyên tắc phải xét hai trường hợp, dù trong bài này trường hợp thứ hai vô nghiệm.

Sachbaitap.com