Câu 5.2 trang 163 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1
Chứng minh rằng MNPQ là hình chữ nhật. ...
Chứng minh rằng MNPQ là hình chữ nhật.
Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau. Biết AC = 6cm, BD = 8cm. Gọi M, N, P, Q theo thứ tự là trung điểm các cạnh AB, BC, CD, DA. Gọi X, Y, Z, T theo thứ tự là trung điểm các cạnh MN, NP, PQ, QM.
a. Chứng minh rằng MNPQ là hình chữ nhật.
b. Tính diện tích của tứ giác XYZT.
Giải:
a. Trong ∆ ABD ta có:
M là trung điểm của AB
Q là trung điểm của AD
nên MQ là đường trung bình của ∆ ABD.
⇒ MQ // BD và MQ = ({1 over 2})BD (tính chất đường trung bình của tam giác) (1)
Trong ∆ CBD ta có:
N là trung điểm của BC
P là trung điểm của CD
nên NP là đường trung bình của ∆ CBD
⇒ NP // BD và NP = ({1 over 2})BD (tính chất đường trung bình của tam giác) (2)
Từ (1) và (2) suy ra: MQ // NP và MQ = NP nên tứ giác MNPQ là hình bình hành
AC ⊥ BD (gt)
MQ // BD
Suy ra: AC ⊥ MQ
Trong ∆ ABC có MN là đường trung bình ⇒ MN // AC
Suy ra: MN ⊥ MQ hay (widehat {NMQ} = 90^circ )
Vậy tứ giác MNPQ là hình chữ nhật.
b. Kẻ đường chéo MP và NQ
Trong ∆ MNP ta có:
X là trung điểm của MN
Y là trung điểm của NP
nên XY là đường trung bình của ∆ MNP
⇒ XY // MP và XY = ({1 over 2})MP (tính chất đường trung bình của tam giác) (3)
Trong ∆ QMP ta có:
T là trung điểm của QM
Z là trung điểm của QP
nên TZ là đường trung bình của ∆ QMP
⇒ TZ // MP và TZ = ({1 over 2})MP (tính chất đường trung bình của tam giác) (4)
Từ (3) và (4) suy ra: XY // TZ và XY = TZ nên tứ giác XYZT là hình bình hành.
Trong ∆ MNQ ta có XT là đường trung bình
⇒ XT = ({1 over 2})QN (tính chất đường trung bình của tam giác)
Tứ giác MNPQ là hình chữ nhật ⇒ MP = NQ
Suy ra: XT = XY. Vậy tứ giác XYZT là hình thoi
({S_{XYZT}} = {1 over 2}XZ.TY)
mà (XZ = MQ = {1 over 2}BD = {1 over 2}.8 = 4) (cm);
(TY = MN = {1 over 2}AC = {1 over 2}.6 = 3) (cm)
Vậy : ({S_{XYZT}} = {1 over 2}.3.4 = 6(c{m^2}))