Câu 47 trang 48 Đại số và Giải tích 11 Nâng cao, Giải các phương trình sau :...

Bài 47. Giải các phương trình sau :

a.  (sin 2x + {sin ^2}x = {1 over 2})

b.  (2{sin ^2}x + 3sin xcos x + {cos ^2}x = 0)

c.  ({sin ^2}{x over 2} + sin x – 2{cos ^2}{x over 2} = {1 over 2})

Giải

Ta có:

(eqalign{
& sin 2x + {sin ^2}x = {1 over 2} cr
& Leftrightarrow sin 2x + {1 over 2}left( {1 – cos 2x} ight) = {1 over 2} cr
& Leftrightarrow sin 2x – {1 over 2}cos 2x = 0 cr
& Leftrightarrow an 2x = {1 over 2} cr
& Leftrightarrow 2x = alpha + kpi , ext{ với }, an alpha = {1 over 2} cr
& Leftrightarrow x = {alpha over 2} + k{pi over 2},,k inmathbb Z cr} )

b.(x = {pi over 2} + kpi ) không là nghiệm phương trình.

Chia hai vế phương trình cho ({cos ^2}x) ta được :

(eqalign{& 2{ an ^2}x + 3 an x + 1 = 0 Leftrightarrow left[ {matrix{{ an x = – 1} cr { an x = – {1 over 2}} cr} } ight. cr & Leftrightarrow left[ {matrix{{x = – {pi over 4} + kpi } cr {x = alpha + kpi } cr} } ight.,left( {k inmathbb Z} ight) cr & left( { ext{ với }, an alpha = – {1 over 2}} ight) cr} )

c. Ta có:

(eqalign{
& {sin ^2}{x over 2} + sin x – 2{cos ^2}{x over 2} = {1 over 2} cr
& Leftrightarrow {sin ^2}{x over 2} + 2sin {x over 2}cos {x over 2} – 2{cos ^2}{x over 2} = {1 over 2} cr} ) 

Với (x) mà (cos {x over 2} = 0) không là nghiệm phương trình.

Chia hai vế phương trình cho ({cos ^2}{x over 2}) ta được :

(eqalign{& { an ^2}{x over 2} + 2 an {x over 2} – 2 = {1 over 2}left( {1 + {{ an }^2}{x over 2}} ight) cr & Leftrightarrow { an ^2}{x over 2} + 4 an {x over 2} – 5 = 0 cr & Leftrightarrow left[ {matrix{{ an {x over 2} = 1} cr { an {x over 2} = – 5} cr} } ight. Leftrightarrow left[ {matrix{{{x over 2} = {pi over 4} + kpi } cr {{x over 2} = alpha + kpi } cr} } ight.,left( { ext{ với }, an alpha = – 5} ight) cr & Leftrightarrow left[ {matrix{{x = {pi over 2} + k2pi } cr {x = 2alpha + k2pi } cr} } ight.,left( {k inmathbb Z} ight) cr} )