Câu 35 trang 42 Đại số và Giải tích 11 Nâng cao, Dùng công thức hạ bậc để giải các phương trình sau :...

Bài 35. Dùng công thức hạ bậc để giải các phương trình sau :

a.  ({sin ^2}4x + {sin ^2}3x = {sin ^2}2x + {sin ^2}x)

b.  ({cos ^2}x + {cos ^2}2x + {cos ^2}3x + {cos ^2}4x = 2)

Giải

a.

(eqalign{& {sin ^2}4x + {sin ^2}3x = {sin ^2}2x + {sin ^2}x cr & Leftrightarrow {1 over 2}left( {1 – cos 8x} ight) + {1 over 2}left( {1 – cos 6x} ight) = {1 over 2}left( {1 – cos 4x} ight) + {1 over2}left( {1 – cos 2x} ight) cr & Leftrightarrow cos 8x + cos 6x = cos 4x + cos 2x cr & Leftrightarrow cos 7xcos x = cos 3xcos x cr & Leftrightarrow cos xleft( {cos 7x – cos 3x} ight) = 0 cr & Leftrightarrow left[ {matrix{{cos x = 0} cr {cos 7x = cos 3x} cr} } ight. Leftrightarrow left[ {matrix{{x = {pi over 2} + kpi } cr {x = k{pi over 2}} cr {x = k{pi over 5}} cr} } ight. Leftrightarrow left[ {matrix{{x = k{pi over 2}} cr {x = k{pi over 5}} cr} } ight.,,,k inmathbb Z cr} )

b. Ta có:

(eqalign{& {cos ^2}x + {cos ^2}2x + {cos ^2}3x + {cos ^2}4x = 2 cr & Leftrightarrow {{1 + cos 2x} over 2} + {{1 + cos 4x} over 2} + {{1 + cos 6x} over 2} + {{1 + cos 8x} over 2} = 2 cr & Leftrightarrow left( {cos 2x + cos 4x} ight) + left( {cos 6x + cos 8x} ight) = 0 cr & Leftrightarrow 2cos 3xcos x + 2cos 7xcos x = 0 cr & Leftrightarrow cos xleft( {cos 3x + cos 7x} ight) = 0 cr & Leftrightarrow 2cos xcos 5xcos 2x = 0 Leftrightarrow left[ {matrix{{cos x = 0} cr {cos 2x = 0} cr {cos 5x = 0} cr} } ight. Leftrightarrow left[ {matrix{{x = {pi over 2} + kpi } cr {x = {pi over 4} + k{pi over 2}} cr {x = {pi over {10}} + k{pi over 5}} cr} } ight.,,left( {k inmathbb Z} ight) cr} )

 Baitapsgk.com