Câu 48 trang 48 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao, a. Chứng minh rằng...

Bài 48. a. Chứng minh rằng  (sin {pi over {12}} = {{sqrt 3 – 1} over {2sqrt 2 }})

b. Giải các phương trình (2sin x – 2cos x =1 – sqrt 3 ) bằng cách biến đổi vế trái về dạng (Csin(x + α)).

c. Giải phương trình (2sin x – 2cos x =1 – sqrt 3 ) bằng cách bình phương hai vế.

Giải

a. Ta có:

(eqalign{
& sin {pi over {12}} = sin left( {{pi over 3} – {pi over 4}} ight) cr
& = sin {pi over 3}cos {pi over 4} – sin {pi over 4}cos {pi over 3} cr
& = {{sqrt 3 } over 2}.{{sqrt 2 } over 2} – {{sqrt 2 } over 2}.{1 over 2} cr
& = {{sqrt 6 – sqrt 2 } over 4} = {{sqrt 2 left( {sqrt 3 – 1} ight)} over 4} cr
& = {{sqrt 3 – 1} over {2sqrt 2 }} cr} ) 

b. Ta có:

(eqalign{& 2sin x – 2cos x = 1 – sqrt 3 cr & Leftrightarrow {1 over {sqrt 2 }}sin x – {1 over {sqrt 2 }}cos x = {{1 – sqrt 3 } over {2sqrt 2 }} cr & Leftrightarrow sin x.cos {pi over 4} – sin {pi over 4}cos x = – sin {pi over {12}} cr & Leftrightarrow sin left( {x – {pi over 4}} ight) = sin left( { – {pi over {12}}} ight) cr & Leftrightarrow left[ {matrix{{x – {pi over 4} = – {pi over {12}} + k2pi } cr
{x – {pi over 4} = pi + {pi over {12}} + k2pi } cr} } ight. cr & Leftrightarrow left[ {matrix{{x = {pi over 6} + k2pi } cr {x = {{4pi } over 3} + k2pi } cr} } ight.left( {k inmathbb Z} ight) cr} ) 

c. Chú ý rằng (1 – sqrt 3 < 0), ta đặt điều kiện (sin x – cos x < 0) rồi bình phương hai vế của phương trình thì được :

(eqalign{& 4left( {1 – sin 2x} ight) = 4 – 2sqrt 3 cr & Leftrightarrow sin 2x = {{sqrt 3 } over 2} Leftrightarrow left[ {matrix{{x = {pi over 6} + kpi } cr {x = {pi over 3} + kpi } cr},,(kinmathbb Z) } ight. cr} ) 

Thử vào điều kiện (sin x – cos x < 0), ta thấy :

* Họ nghiệm (x = {pi over 6} + kpi ) thỏa mãn điều kiện (sin x – cos x < 0) khi và chỉ khi (k) chẵn, tức là (x = {pi over 6} + 2mpi ) với (m inmathbb Z).

* Họ nghiệm (x = {pi over 3} + kpi ) thỏa mãn điều kiện (sin x  – cos x < 0) khi và chỉ khi (k) lẻ, tức là (x = {pi over 3} + left( {2m + 1} ight)pi = {{4pi } over 3} + 2mpi ) với (m inmathbb Z).

Ta có kết quả như đã nêu ở câu b.