Câu 50 trang 48 Đại số và Giải tích 11 Nâng cao, Cho phương trình...

Bài 50. Cho phương trình  ({{{{sin }^3}x + {{cos }^3}x} over {2cos x – sin x}} = cos 2x.)

a. Chứng minh rằng (x = {pi over 2} + kpi ) nghiệm đúng phương trình.

b. Giải phương trình bằng cách đặt ( an x = t) (khi (x e {pi over 2} + kpi )   )

Giải

a. Thay (x = {pi over 2} + kpi ) vào phương trình ta được :

({{{{left( { – 1} ight)}^{3k}}} over { – {{left( { – 1} ight)}^k}}} = cos pi Leftrightarrow – 1 = – 1) (luôn đúng)

Vậy (x = {pi over 2} + kpi ) là nghiệm phương trình

b. * (x = {pi over 2} + kpi ) là nghiệm phương trình.

* Với (x e {pi over 2} + kpi ) chia tử và mẫu của vế trái cho ({cos ^3}x) ta được :

({{{{ an }^3}x + 1} over {2left( {1 + {{ an }^2}x} ight) – an xleft( {1 + {{ an }^2}x} ight)}} = {{1 – {{ an }^2}x} over {1 + {{ an }^2}x}}) 

Đặt (t = an x) ta được :

(eqalign{& {{{t^3} + 1} over {left( {2 – t} ight)left( {1 + {t^2}} ight)}} = {{1 – {t^2}} over {1 + {t^2}}} cr & Leftrightarrow {t^3} + 1 = left( {{t^2} – 1} ight)left( {t – 2} ight) cr & Leftrightarrow {t^3} + 1 = {t^3} – 2{t^2} – t + 2 cr & Leftrightarrow 2{t^2} + t – 1 = 0 Leftrightarrow left[ {matrix{
{t = – 1} cr {t = {1 over 2}} cr} } ight. cr & Leftrightarrow left[ {matrix{{ an x = – 1} cr { an x = {1 over 2}} cr} } ight. Leftrightarrow left[ {matrix{{x = – {pi over 4} + kpi } cr {x = alpha + kpi } cr} } ight. cr & ext{ với }, an alpha = {1 over 2} cr} ) 

Vậy phương trình đã cho có nghiệm :(x = {pi over 2} + kpi ,x = – {pi over 4} + kpi ,x = alpha + kpi ,left( {k inmathbb Z} ight))