Câu 47 trang 219 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
a. Cho hàm số ...
a. Cho hàm số
a. Cho hàm số (fleft( x ight) = an x.) Tính ({f^{left( n ight)}}left( x ight)) với n = 1, 2, 3.
b. Chứng minh rằng nếu (fleft( x ight) = {sin ^2}x) thì ({f^{left( {4n} ight)}}left( x ight) = - {2^{4n - 1}}cos 2x)
Giải:
a.
(egin{array}{l}
f'left( x
ight) = 1 + { an ^2}x
f"left( x
ight) = 2 an x .left( {1 + {{ an }^2}x}
ight)
{f^{left( 3
ight)}}left( x
ight)=2{left( {1 + {{ an }^2}x}
ight)^2} + 4{ an ^2}xleft( {1 + {{ an }^2}x}
ight)
end{array})
b. ({f^{left( {4n} ight)}}left( x ight) = - {2^{4n - 1}}cos 2x) (1)
Với n = 1 ta có:
(egin{array}{l}
f'left( x
ight) = sin 2x
f"left( x
ight) = 2cos 2x
{f^{left( 3
ight)}}left( x
ight) = - 4sin 2x
{f^{left( 4
ight)}}left( x
ight) = - 8cos 2x
end{array})
Vậy (1) đúng với n = 1
Giả sử (1) đúng với n = k tức là : ({f^{left( {4k} ight)}}left( x ight) = - {2^{4k - 1}}cos 2x)
Với n = k + 1 ta có :
(egin{array}{l}
{f^{left( {4k + 1}
ight)}}left( x
ight) = left( {{f^{left( {4k}
ight)}}left( x
ight)}
ight)' = {2^{4k}}sin 2x
{f^{left( {4k + 2}
ight)}}left( x
ight) = {2^{4k + 1}}cos 2x
{f^{left( {4k + 3}
ight)}}left( x
ight) = - {2^{4k + 2}}sin 2x
{f^{left( {4k + 4}
ight)}}left( x
ight) = - {2^{4k + 3}}cos 2x
end{array})
Vậy (1) đúng với n = k + 1 do đó (1) đúng với mọi n.
soanbailop6.com
