Câu 45 trang 12 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1

Chứng minh

Với a ≥ 0, b ≥ 0, chứng minh

(sqrt {{{a + b} over 2}}  ge {{sqrt a  + sqrt b } over 2})

Gợi ý làm bài

Vì a ≥ 0 nên (sqrt a ) xác định, b ≥ 0 nên (sqrt b ) xác định

Ta có: 

(eqalign{
& {left( {sqrt a - sqrt b } ight)^2} ge 0 cr
& Leftrightarrow a - 2sqrt {ab} + b ge 0 ge a + b ge 2sqrt {ab} cr} )

( Leftrightarrow a + b + a + b ge a + b + 2sqrt {ab} )

( Leftrightarrow 2(a + b) ge {left( {sqrt a } ight)^2} + 2sqrt {ab}  + {left( {sqrt b } ight)^2})

(eqalign{
& Leftrightarrow 2(a + b) ge {left( {sqrt a + sqrt b } ight)^2} cr
& Leftrightarrow {{a + b} over 2} ge {{{{left( {sqrt a + sqrt b } ight)}^2}} over 4} cr} )

(eqalign{
& Leftrightarrow sqrt {{{a + b} over 2}} ge sqrt {{{{{left( {sqrt a + sqrt b } ight)}^2}} over 4}} cr
& Leftrightarrow sqrt {{{a + b} over 2}} ge {{sqrt a + sqrt b } over 2} cr} )

Sachbaitap.net