Bài 3.12 trang 170 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11
Chứng minh phương trình ...
Chứng minh phương trình
Chứng minh phương trình
({x^n} + {a_1}{x^{n - 1}} + {a_2}{x^{n - 2}} + ... + {a_{n - 1}}x + {a_n} = 0) luôn có nghiệm với n là số tự nhiên lẻ.
Giải:
Hàm số (fleft( x ight) = {x^n} + {a_1}{x^{n - 1}} + {a_2}{x^{n - 2}} + ... + {a_{n - 1}}x + {a_n}) xác định trên R
- Ta có
(eqalign{
& mathop {lim }limits_{x o + infty } fleft( x
ight) = mathop {lim }limits_{x o + infty } left( {{x^n} + {a_1}{x^{n - 1}} + {a_2}{x^{n - 2}} + ... + {a_{n - 1}}x + {a_n}}
ight) cr
& {
m{ = }}mathop {lim }limits_{x o + infty } {x^n}left( {1 + {{{a_1}} over x} + {{{a_2}} over {{x^2}}} + ... + {{{a_{n - 1}}} over {{x^{n - 1}}}} + {{{a_n}} over {{x^n}}}}
ight) = + infty cr} )
Vì (mathop {lim }limits_{x o + infty } fleft( x ight) = + infty ) nên với dãy số (left( {{x_n}} ight)) bất kì mà ({x_n} o + infty ) ta luôn có (lim fleft( {{x_n}} ight) = + infty )
Do đó, (fleft( {{x_n}} ight)) có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi.
Nếu số dương này là 1 thì (fleft( {{x_n}} ight) > 1) kể từ một số hạng nào đó trở đi.
Nói cách khác, luôn tồn tại số a sao cho (fleft( a ight) > 1) (1)
(eqalign{
& mathop {lim }limits_{x o - infty } fleft( x
ight) = mathop {lim }limits_{x o - infty } left( {{x^n} + {a_1}{x^{n - 1}} + {a_2}{x^{n - 2}} + ... + {a_{n - 1}}x + {a_n}}
ight) cr
& {
m{ = }}mathop {lim }limits_{x o - infty } {x^n}left( {1 + {{{a_1}} over x} + {{{a_2}} over {{x^2}}} + ... + {{{a_{n - 1}}} over {{x^{n - 1}}}} + {{{a_n}} over {{x^n}}}}
ight) = - infty cr} ) (do n lẻ).
Vì (mathop {lim }limits_{x o - infty } fleft( x ight) = - infty) nên với dãy số (left( {{x_n}} ight)) bất kì mà ({x_n} o - infty ) ta luôn có (lim fleft( {{x_n}} ight) = - infty ) hay (lim left[ { - fleft( {{x_n}} ight)} ight] = + infty )
Do đó, ( - fleft( {{x_n}} ight)) có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi.
Nếu số dương này là 1 thì ( - fleft( {{x_n}} ight) > 1) kể từ số hạng nào đó trở đi. Nói cách khác, luôn tồn tại b sao cho ( - fleft( b ight) > 1) hay (fleft( b ight) < - 1) (2)
- Từ (1) và (2) suy ra (fleft( a ight)fleft( b ight) < 0)
Mặt khác, (fleft( x ight)) hàm đa thức liên tục trên R nên liên tục trên [a; b]
Do đó, phương trình (fleft( x ight) = 0) luôn có nghiệm.
