Câu 4.1, 4.2, 4.3 trang 12, 13 Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2

Giải hệ phương trình.

Câu 4.1 trang 12 Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2

Giải các hệ phương trình:

(a)left{ {matrix{
{{3 over x} + {5 over y} = - {3 over 2}} cr
{{5 over x} - {2 over y} = {8 over 3}} cr} } ight.)

(b)left{ {matrix{
{{2 over {x + y - 1}} - {4 over {x - y + 1}} = - {{14} over 5}} cr
{{3 over {x + y - 1}} + {2 over {x - y + 1}} = - {{13} over 5}} cr} } ight.)

Giải

(a)left{ {matrix{
{{3 over x} + {5 over y} = - {3 over 2}} cr 
{{5 over x} - {2 over y} = {8 over 3}} cr} } ight.)

Đặt ({1 over x} = a;{1 over y} = b.) Điều kiện: (x e 0;y e 0)

Ta có hệ phương trình:

(eqalign{
& left{ {matrix{
{3a + 5b = - {3 over 2}} cr
{5a - 2b = {8 over 3}} cr
} } ight. Leftrightarrow left{ {matrix{
{6a + 10b = - 3} cr 
{15a - 6b = 8} cr
} } ight. cr 
& Leftrightarrow left{ {matrix{
{30a + 50b = - 15} cr 
{30a - 12b = 16} cr
} } ight. Leftrightarrow left{ {matrix{
{62b = - 31} cr 
{6a + 10b = - 3} cr
} } ight. cr 
& Leftrightarrow left{ {matrix{
{b = - {1 over 2}} cr 
{6a + 10.left( { - {1 over 2}} ight) = - 3} cr
} } ight. Leftrightarrow left{ {matrix{
{b = - {1 over 2}} cr 
{6a = 2} cr
} } ight. cr 
& Leftrightarrow left{ {matrix{
{b = - {1 over 2}} cr 
{a = {1 over 3}} cr} } ight. cr} )

Suy ra:

(left{ {matrix{
{{1 over x} = {1 over 3}} cr
{{1 over y} = - {1 over 2}} cr
} } ight. Leftrightarrow left{ {matrix{
{x = 3} cr 
{y = - 2} cr} } ight.)

Hai giá trị của x và y thỏa mãn điều kiện bài toán.

Vậy hệ phương trình đã cho có một nghiệm (x; y) =  (3; -2)

(b)left{ {matrix{
{{2 over {x + y - 1}} - {4 over {x - y + 1}} = - {{14} over 5}} cr 
{{3 over {x + y - 1}} + {2 over {x - y + 1}} = - {{13} over 5}} cr} } ight.)

Đặt ({1 over {x + y - 1}} = a;{1 over {x - y + 1}} = b.) Điều kiện: (x + y - 1 e 0;x - y + 1 e 0)

Ta có hệ phương trình:

(eqalign{
& left{ {matrix{
{2a - 4b = - {{14} over 5}} cr
{3a + 2b = - {{13} over 5}} cr
} } ight. Leftrightarrow left{ {matrix{
{2a - 4b = - {{14} over 5}} cr 
{6a + 4b = - {{26} over 5}} cr
} } ight. cr 
& Leftrightarrow left{ {matrix{
{8a = - 8} cr 
{3a + 2b = - {{13} over 5}} cr
} } ight. Leftrightarrow left{ {matrix{
{a = - 1} cr 
{ - 3 + 2b = - {{13} over 5}} cr
} } ight. cr 
& Leftrightarrow left{ {matrix{
{a = - 1} cr 
{b = {1 over 5}} cr} } ight. cr} )

Suy ra:

(eqalign{
& left{ {matrix{
{{1 over {x + y - 1}} = - 1} cr
{{1 over {x - y + 1}} = {1 over 5}} cr
} } ight. Leftrightarrow left{ {matrix{
{x + y - 1 = - 1} cr 
{x - y + 1 = 5} cr
} } ight. cr 
& Leftrightarrow left{ {matrix{
{x + y = 0} cr 
{x - y = 4} cr
} } ight. Leftrightarrow left{ {matrix{
{2x = 4} cr 
{x - y = 4} cr
} } ight. cr 
& Leftrightarrow left{ {matrix{
{x = 2} cr 
{2 - y = 4} cr
} } ight. Leftrightarrow left{ {matrix{
{x = 2} cr 
{y = - 2} cr} } ight. cr} )

Hai giá trị x = 2; y = -2 thỏa mãn điều kiện bài toán.

Vậy hệ phương trình đã cho có một nghiệm (x; y) =  (2; -2)

Câu 4.2 trang 12 Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2

Hãy xác định hàm số bậc nhất thỏa mãn mỗi điều kiện sau:

a) Đồ thị hàm số đi qua hai điểm M(-3; 1) và N(1; 2)

b) Đồ thị hàm số đi qua hai điểm (Mleft( {sqrt 2 ;1} ight)) và (Nleft( {3;3sqrt 2  - 1} ight))

c) Đồ thị đi qua điểm M(-2; 9) và cắt đường thẳng (d): 3x – 5y = 1 tại điểm có hoành độ bằng 2.

Giải

Hàm số bậc nhất có dạng y = ax + b (a ≠ 0)

a) Đồ thị hàm số y = ax + b đi qua M(-3; 1) và N(1; 2) nên tọa độ của M và N nghiệm đúng phương trình hàm số.

Điểm M: 1 = -3a + b

Điểm N: 2 = a + b

Hai số a và b là nghiệm của hệ phương trình:

(eqalign{
& left{ {matrix{
{ - 3a + b = 1} cr
{a + b = 2} cr
} } ight. Leftrightarrow left{ {matrix{
{4a = 1} cr 
{a + b = 2} cr
} } ight. cr 
& Leftrightarrow left{ {matrix{
{a = {1 over 4}} cr 
{{1 over 4} + b = 2} cr
} } ight. Leftrightarrow left{ {matrix{
{a = {1 over 4}} cr 
{b = {7 over 4}} cr} } ight. cr} )

Hàm số cần tìm: $y = {1 over 4}x + {7 over 4})

b) Đồ thị hàm số y = ax + b đi qua (Mleft( {sqrt 2 ;1} ight)) và (Nleft( {3;3sqrt 2  - 1} ight)) nên tọa độ của M và N nghiệm đúng phương trình hàm số.

Điểm M: (1 = asqrt 2  + b)

Điểm N:  (3sqrt 2  - 1 = 3a + b)

Hai số a và b là nghiệm của hệ phương trình:

(eqalign{
& left{ {matrix{
{asqrt 2 + b = 1} cr
{3a + b = 3sqrt 2 - 1} cr
} } ight. Leftrightarrow left{ {matrix{
{left( {3 - sqrt 2 } ight)a = 3sqrt 2 - 2} cr 
{asqrt 2 + b = 1} cr
} } ight. cr 
& Leftrightarrow left{ {matrix{
{left( {3 - sqrt 2 } ight)a = sqrt 2 left( {3 - sqrt 2 } ight)} cr 
{asqrt 2 + b = 1} cr
} } ight. cr 
& Leftrightarrow left{ {matrix{
{a = sqrt 2 } cr 
{{{left( {sqrt 2 } ight)}^2} + b = 1} cr
} } ight. cr 
& Leftrightarrow left{ {matrix{
{a = sqrt 2 } cr 
{2 + b = 1} cr
} } ight. Leftrightarrow left{ {matrix{
{a = sqrt 2 } cr 
{b = - 1} cr} } ight. cr} )

Hàm số cần tìm: (y = sqrt 2 x - 1)

c) Điểm N nằm trên đường thẳng (d): 3x – 5y = 1 có hoành độ bằng 2 nên tung độ của N bằng: (3.2 - 5y = 1 Leftrightarrow  - 5y =  - 5 Leftrightarrow y = 1)

Điểm N( 2; 1)

Đồ thị hàm số y = ax + b đi qua M(-2; 9) và N(2; 1) nên tọa độ của M và N nghiệm đúng phương trình hàm số.

Điểm M: 9 = -2a + b

Điểm N: 1 =2a + b

Hai số a và b là nghiệm của hệ phương trình:

(eqalign{
& left{ {matrix{
{ - 2a + b = 9} cr
{2a + b = 1} cr
} } ight. Leftrightarrow left{ {matrix{
{2b = 10} cr 
{2a + b = 1} cr
} } ight. cr 
& Leftrightarrow left{ {matrix{
{b = 5} cr 
{2a + 5 = 1} cr
} } ight. Leftrightarrow left{ {matrix{
{b = 5} cr 
{2a = - 4} cr
} } ight. cr 
& Leftrightarrow left{ {matrix{
{b = 5} cr 
{a = - 2} cr} } ight. cr} )

Hàm số cần tìm là y =  - 2x + 5

Câu 4.3 trang 13 Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2

Giải hệ phương trình:

(left{ {matrix{
{{{xy} over {x + y}} = {2 over 3}} cr
{{{yz} over {y + z}} = {6 over 5}} cr
{{{zx} over {z + x}} = {3 over 4}} cr} } ight.)

Giải

Điều kiện: (x e  - y;y e  - z;z e  - x)

Từ hệ phương trình đã cho suy ra: $x e 0;y e 0;z e 0)

(left{ {matrix{
{{{xy} over {x + y}} = {2 over 3}} cr
{{{yz} over {y + z}} = {6 over 5}} cr
{{{zx} over {z + x}} = {3 over 4}} cr
} } ight. Leftrightarrow left{ {matrix{
{{{x + y} over {xy}} = {3 over 2}} cr 
{{{y + z} over {yz}} = {5 over 6}} cr 
{{{z + x} over {zx}} = {4 over 3}} cr} } ight. Leftrightarrow left{ {matrix{
{{1 over x} + {1 over y} = {3 over 2}} cr 
{{1 over y} + {1 over z} = {5 over 6}} cr 
{{1 over z} + {1 over x} = {4 over 3}} cr} } ight.)

Đặt ({1 over x} = a;{1 over y} = b;{1 over z} = c)

Ta có hệ phương trình:

(left{ {matrix{
{a + b = {3 over 2}} cr
{b + c = {5 over 6}} cr
{c + a = {4 over 3}} cr} } ight.)

Cộng từng vế ba phương trình ta có:

(eqalign{
& a + b + b + c + c + a = {3 over 2} + {5 over 6} + {4 over 3} cr
& Leftrightarrow 2left( {a + b + c} ight) = {9 over 6} + {5 over 6} + {8 over 6} cr
& Leftrightarrow a + b + c = {{11} over 6} cr
& a = left( {a + b + c} ight) - left( {b + c} ight) = {{11} over 6} - {5 over 6} = 1 cr
& b = left( {a + b + c} ight) - left( {c + a} ight) = {{11} over 6} - {4 over 3} = {{11} over 6} - {8 over 6} = {1 over 2} cr
& c = left( {a + b + c} ight) - left( {a + b} ight) = {{11} over 6} - {3 over 2} = {{11} over 6} - {9 over 6} = {1 over 3} cr} )

Suy ra:

(left{ {matrix{
{{1 over x} = 1} cr
{{1 over y} = {1 over 2}} cr
{{1 over z} = {1 over 3}} cr
} } ight. Leftrightarrow left{ {matrix{
{x = 1} cr 
{y = 2} cr 
{z = 3} cr} } ight.)

Vậy hệ phương trình đã cho có một nghiệm (x; y; z) = (1; 2; 3).

Sachbaitap.com