Câu 38 trang 46 Đại số và Giải tích 11 Nâng cao, Giải các phương trình sau :...

Bài 38. Giải các phương trình sau :

a.  ({cos ^2}x – 3{sin ^2}x = 0)

b.  ({left( { an x + cot x} ight)^2} – left( { an x + cot x} ight) = 2)

c.  (sin x + {sin ^2}{x over 2} = 0,5)

Giải

a.

(eqalign{
& {cos ^2}x – 3{sin ^2}x = 0 cr
& Leftrightarrow {{1 + cos 2x} over 2} – {{3left( {1 – cos 2x} ight)} over 2} = 0 cr
& Leftrightarrow cos 2x = {1 over 2} Leftrightarrow 2x = pm {pi over 3} + k2pi cr
& Leftrightarrow x = pm {pi over 6} + kpi cr} ) 

b. Đặt (t = an x + cot x) với điều kiện (|t| = | an x| + |cot x| ≥ 2) (BĐT Cosi)

Ta có:

(eqalign{& {t^2} – t = 2 Leftrightarrow {t^2} – t – 2 = 0 Leftrightarrow left[ {matrix{{t = – 1,left( ext{loại} ight)} cr {t = 2} cr} } ight. cr & t = 2 Leftrightarrow an x + cot x = 2 Leftrightarrow an x = {1 over { an x}} = 2 cr & Leftrightarrow { an ^2}x – 2 an x + 1 = 0 cr & Leftrightarrow an x = 1 Leftrightarrow x = {pi over 4} + kpi cr} ) 

c.

(eqalign{
& sin x + {sin ^2}{x over 2} = 0,5 cr
& Leftrightarrow sin x + {{1 – cos x} over 2} = {1 over 2} Leftrightarrow sin x = {1 over 2}cos x cr
& Leftrightarrow an x = {1 over 2} Leftrightarrow x = alpha + kpi , ext{ trong đó }, an alpha = {1 over 2} cr} )

 Baitapsgk.com