Câu 25 trang 32 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao, Một chiếc guồng nước có dạng hình tròn bán kính 2,5m ; trục của nó đặt cách mặt...

Bài 25. Một chiếc guồng nước có dạng hình tròn bán kính (2,5m) ;trục của nó đặt cách mặt nước (2m) (h.1.24). Khi guồng quay đều, khoảng cách (h) (mét) từ một chiếc gầu gắntại điểm (A) của guồng đến mặt nước được tính theo công thức (h = |y|), trong đó

(y = 2 + 2,5sin left[ {2pi left( {x – {1 over 4}} ight)} ight]) 

Với (x) là thời gian quay guồng ((x ≥ 0)), tính bằng phút ; ta quy ước rằng (y > 0) khi gầu ở bên trên mặt nước và (y < 0) khi gầu ở dưới nước (xem bài đọc thêm về dao động điều hòa trang 15). Hỏi :

a. Khi nào thì chiếc gầu ở vị trí thấp nhất ?

b. Khi nào thì chiếc gầu ở vị trí cao nhất ?

c. Chiếc gầu cách mặt nước (2m) lần đầu tiên khi nào ?

Giải

a. Chiếc gầu ở vị trí thấp nhất khi (sin left[ {2pi left( {x – {1 over 4}} ight)} ight] = – 1.) Ta có :

(sin left[ {2pi left( {x – {1 over 4}} ight)} ight] = – 1 Leftrightarrow 2pi left( {x – {1 over 4}} ight) = – {pi over 2} + k2pi Leftrightarrow x = k,left( {,k inmathbb Z} ight)) 

Điều đó chứng tỏ rằng chiếc gầu ở vị trí thấp nhất tại các thời điểm 0 phút ; 1 phút ; 2 phút ; 3 phút…

b. Chiếc gầu ở vị trí cao nhất khi (sin left[ {2pi left( {x – {1 over 4}} ight)} ight] = 1.) Ta có :

(sin left[ {2pi left( {x – {1 over 4}} ight)} ight] = 1 Leftrightarrow 2pi left( {x – {1 over 4}} ight) = {pi over 2} + k2pi Leftrightarrow x = {1 over 2} + k,left( {,k in N} ight)) 

Điều đó chứng tỏ chiếc gàu ở vị trí cao nhất tại các thời điểm 0,5 phút; 1,5 phút ; 2,5 phút ; 3,5 phút …

c. Chiếc gàu cách mặt nước 2 mét khi (sin left[ {2pi left( {x – {1 over 4}} ight)} ight] = 0,) nghĩa là tại các thời điểm (x = {1 over 4} + {1 over 2}k) (phút); do đó lần đầu tiên nó cách mặt nước 2 mét khi quay được ({1 over 4}) phút (ứng với (k = 0)).