Câu 41 trang 47 Đại số và Giải tích 11 Nâng cao, Giải các phương trình sau :...

Bài 41. Giải các phương trình sau :

a.  (3{sin ^2}x – sin 2x – {cos ^2}x = 0)

b.  (3{sin ^2}2x – sin 2xcos 2x – 4{cos ^2}2x = 2)

c.  (2{sin ^2}x + left( {3 + sqrt 3 } ight)sin xcos x + left( {sqrt 3 – 1} ight){cos ^2}x = – 1)

Giải

a. Cách 1 : (chia hai vế cho ({cos ^2}x)). Chú ý rằng những giá trị của x mà (cos x = 0) không là nghiệm của phương trình. Do đó :

(eqalign{& 3{sin ^2}x – sin 2x – {cos ^2}x = 0 cr & Leftrightarrow 3{ an ^2}x – 2 an x – 1 = 0 Leftrightarrow left[ {matrix{{ an x = 1} cr { an x = – {1 over 3}} cr} } ight. cr} ) 

Từ đó suy ra các nghiệm của phương trình là :

(x = {pi over 4} + kpi ,va,x = alpha + kpi , ext{ trong đó }, an alpha = – {1 over 3})

Cách 2 : (dùng công thức hạ bậc)

(eqalign{& 3{sin ^2}x – sin 2x – {cos ^2}x = 0 cr & Leftrightarrow {{3left( {1 – cos 2x} ight)} over 2} – sin 2x – {{1 + cos 2x} over 2} = 0 cr & Leftrightarrow – 2sin 2x – 4cos 2x + 2 = 0 cr & Leftrightarrow sin 2x + 2cos 2x = 1 cr & Leftrightarrow {1 over {sqrt 5 }}sin 2x + {2 over {sqrt 5 }}cos 2x = {1 over {sqrt 5 }} cr & Leftrightarrow cos left( {2x – alpha } ight) = cos left( {{pi over 2} – alpha } ight) cr & ext{ trong đó },alpha , ext{ là số thỏa mãn },sin alpha = {1 over {sqrt 5 }}, ext{ và },cos alpha = {2 over {sqrt 5 }}. ext{ Ta có },: cr & cos left( {2x – alpha } ight) = cos left( {{pi over 2} – alpha } ight) cr & Leftrightarrow 2x – alpha = pm left( {{pi over 2} – alpha } ight) + k2pi cr
& Leftrightarrow left[ {matrix{{x = {pi over 4} + kpi } cr {x = alpha – {pi over 4} + kpi } cr} } ight.left( {k in mathbb Z} ight) cr} )

b. Những giá trị của x mà (cos2x = 0) không là nghiệm phương trình. Chia hai vế phương trình cho ({cos ^2}2x) ta được :

(eqalign{& 3{ an ^2}2x – an 2x – 4 = 2left( {1 + {{ an }^2}2x} ight) cr & Leftrightarrow { an ^2}2x – an 2x – 6 = 0 Leftrightarrow left[ {matrix{{ an 2x = – 2} cr { an 2x = 3} cr} } ight. cr & Leftrightarrow left[ {matrix{{x = {alpha over 2} + k{pi over 2}} cr {x = {eta over 2} + k{pi over 2}} cr} } ight., ext{ trong đó }, an 2alpha = – 2, ext{ và }, an 2eta = 3 cr} ) 

c. Với giá trị (x) mà (cos x = 0) không là nghiệm phương trình chia hai vế phương trình cho ({cos ^2}x) ta được :

(eqalign{& 2{ an ^2}x + left( {3 + sqrt 3 } ight) an x + sqrt 3 – 1 = – left( {1 + {{ an }^2}x} ight) cr & Leftrightarrow 3{ an ^2}x + left( {3 + sqrt 3 } ight) an x + sqrt 3 = 0 cr & Leftrightarrow left[ {matrix{{ an x = – 1} cr { an x = – {{sqrt 3 } over 3}} cr} } ight. Leftrightarrow left[ {matrix{{x = – {pi over 4} + kpi } cr {x = – {pi over 6} + kpi } cr} } ight.,left( {k inmathbb Z} ight) cr} )