Câu 42 trang 47 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao, Giải các phương trình sau :...

Bài 42. Giải các phương trình sau :

a.  (sin x + sin 2x + sin 3x = cos x + cos 2x + cos 3x)

b.  (sin x = sqrt 2 sin 5x – cos x)

c.  ({1 over {sin 2x}} + {1 over {cos 2x}} = {2 over {sin 4x}})

d.  (sin x + cos x = {{cos 2x} over {1 – sin 2x}})

Giải

a. Ta có:

(eqalign{& sin x + sin 2x + sin 3x = cos x + cos 2x + cos 3x cr & Leftrightarrow left( {sin x + sin 3x} ight) + sin 2x = left( {cos x + cos 3x} ight) + cos 2x cr & Leftrightarrow 2sin 2xcos x + sin 2x = 2cos 2xcos x + cos 2x cr & Leftrightarrow sin 2xleft( {2cos x + 1} ight) – cos 2xleft( {2cos x + 1} ight) = 0 cr & Leftrightarrow left( {2cos x + 1} ight)left( {sin 2x – cos 2x} ight) = 0 cr & Leftrightarrow left[ {matrix{{2cos x + 1 = 0} cr {sin 2x – cos 2x = 0} cr} } ight. Leftrightarrow left[ {matrix{{cos x = – {1 over 2}} cr { an 2x = 1} cr} } ight. cr & Leftrightarrow left[ {matrix{{x = pm {{2pi } over 3} + k2pi } cr {x = {pi over 8} + k{pi over 2}} cr} } ight.,k inmathbb Z cr} ) 

b.

(eqalign{& sin x = sqrt 2 sin 5x – cos x cr & Leftrightarrow = {1 over {sqrt 2 }}sin x + {1 over {sqrt 2 }}cos x = sin 5x cr & Leftrightarrow sin left( {x + {pi over 4}} ight) = sin 5x Leftrightarrow left[ {matrix{{5x = x + {pi over 4} + k2pi } cr {5x = {{3pi } over 4} – x + k2pi } cr} } ight. cr & Leftrightarrow left[ {matrix{{x = {pi over {16}} + k{pi over 2}} cr {x = {pi over 8} + k{pi over 3}} cr} ,k inmathbb Z} ight. cr} ) 

c. ĐKXĐ : (sin4x ≠ 0) (điều kiện này đã bao gồm (sin 2x ≠ 0) và (cos2x ≠ 0)).

Với điều kiện đó, ta có thể nhân hai vế của phương trình với (sin4x) :

(eqalign{& {1 over {sin 2x}} + {1 over {cos 2x}} = {2 over {sin 4x}} cr & Leftrightarrow {1 over {sin 2x}} + {1 over {cos 2x}} = {1 over {sin 2xcos 2x}} cr & Leftrightarrow sin 2x + cos 2x = 1 Leftrightarrow sin left( {2x + {pi over 4}} ight) = sin {pi over 4} cr & Leftrightarrow left[ {matrix{{2x = k2pi } cr {2x = {pi over 2} + k2pi } cr} } ight. cr} ) 

Ta thấy : Nếu (2x = k2π) thì (sin2x = 0); nếu (2x = {pi over 2} + k2pi ) thì (cos2x = 0), nên các giá trị đó của (x) đều không thỏa mãn ĐKXĐ. Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

d. ĐKXĐ : (sin2x ≠ 1). Với điều kiện đó, ta có:

(eqalign{& sin x + cos x = {{cos 2x} over {1 – sin 2x}} cr & Leftrightarrow sin x + cos x = {{{{cos }^2}x – {{sin }^2}x} over {{{left( {cos x – sin x} ight)}^2}}} cr & Leftrightarrow left( {sin x + cos x} ight)left( {1 – {1 over {cos x – sin x}}} ight) = 0 cr & +),,sin x + cos x = 0 Leftrightarrow x = – {pi over 4} + kpi cr & +),,{1 over {cos x – sin x}} = 1 Leftrightarrow cos x – sin x = 1 cr & Leftrightarrow cos left( {x + {pi over 4}} ight) = {1 over {sqrt 2 }} Leftrightarrow left[ {matrix{{x = k2pi ,left( ext{nhận} ight)} cr {x = – {pi over 2} + k2pi ,left(  ext{nhận} ight)} cr} } ight. cr} )

 Baitapsgk.com