Câu 36 trang 42 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao, Giải các phương trình sau :...

Bài 36. Giải các phương trình sau :

a.  ( an {x over 2} = an x)

b.  ( an left( {2x + 10^circ } ight) + cot x = 0)

c.  (left( {1 – an x} ight)left( {1 + sin 2x} ight) = 1 + an x)

d.  ( an x + an 2x = sin 3xcos x)

e.  ( an x + cot 2x = 2cot 4x)

Giải

a. ĐKXĐ:  (left{ {matrix{{cos {x over 2} e 0} cr {cos x e 0} cr} } ight.)

Ta có:( an {x over 2} = an x Leftrightarrow x = {x over 2} + kpi Leftrightarrow x = k2pi ,) (nhận)

b. ĐKXĐ:  (left{ {matrix{{cos left( {2x + 10^circ } ight) e 0} cr {sin x e 0} cr} } ight.)

Ta có:

(eqalign{
& an left( {2x + 10^circ } ight) + cot x = 0 Leftrightarrow an left( {2x + 10^circ } ight) = an left( {90^circ + x} ight) cr
& Leftrightarrow 2x + 10^circ = 90^circ + x + k180^circ Leftrightarrow x = 80^circ + k180^circ cr} ) 

Hiển nhiên (x = 80^0 + k180^0) thỏa mãn ĐKXĐ.

Vậy phương trình đã cho có các nghiệm là (x = 80^0 + k180^0)

c. Đặt (t = an x), với điều kiện (cos x ≠ 0).

Ta có:  (sin 2x = {{2 an x} over {1 + {{ an }^2}x}} = {{2t} over {1 + {t^2}}})

Do đó :  (1 + sin 2x = 1 + {{2t} over {1 + {t^2}}} = {{{{left( {1 + t} ight)}^2}} over {1 + {t^2}}})

Vậy ta có phương trình:

(eqalign{& left( {1 – t} ight){{{{left( {1 + t} ight)}^2}} over {1 + {t^2}}} = 1 + t cr & Leftrightarrow left( {1 – t} ight){left( {1 + t} ight)^2} = left( {1 + t} ight)left( {1 + {t^2}} ight)Leftrightarrow 2{t^2}left( {1 + t} ight) = 0 cr & Leftrightarrow left[ {matrix{{t = 0} cr {t = – 1} cr} } ight. Leftrightarrow left[ {matrix{{ an x = 0} cr { an x = – 1} cr} } ight. Leftrightarrow left[ {matrix{{x = kpi } cr {x = – {pi over 4} + kpi } cr} } ight. cr} ) 

d. ĐKXĐ :(cos x e 0, ext{ và },cos 2x e 0.) Với điều kiện đó, ta có :

(eqalign{& an x + an 2x = sin 3xcos x cr & Leftrightarrow {{sin 3x} over {cos xcos 2x}} = sin 3xcos x cr & Leftrightarrow sin 3xleft( {{1 over {cos xcos 2x}} – cos x} ight) = 0 cr & Leftrightarrow left[ {matrix{{sin 3x = 0} cr {{1 over {cos xcos 2x}} = cos x} cr} } ight. cr & .sin 3x = 0 Leftrightarrow x = k{pi over 3} cr & .{1 over {cos xcos 2x}} = cos x Leftrightarrow {cos ^2}xcos 2x = 1 Leftrightarrow left( {1 + cos 2x} ight)cos 2x = 2 cr & Leftrightarrow {cos ^2}2x + cos 2x – 2 = 0 cr & Leftrightarrow cos 2x = 1 Leftrightarrow x = kpi cr} ) 

Vậy phương trình có nghiệm  (x = k{pi over 3}left( {k in mathbb Z} ight))

e. ĐKXĐ :(cos x e 0,sin 2x e 0,va,sin 4x e 0.) Tuy nhiên chỉ cần (sin 4x ≠ 0) là đủ (vì (sin 4x = 2sin2xcos2x = 4sin xcos xcos2x)). Với điều kiện đó ta có :

(eqalign{& an x + cot 2x = 2cot 4x cr & Leftrightarrow {{sin x} over {cos x}} + {{cos 2x} over {sin 2x}} = {{2cos 4x} over {sin 4x}} cr & Leftrightarrow {{sin xsin 2x + cos xcos 2x} over {cos xsin 2x}} = {{2cos 4x} over {2sin 2xcos 2x}} cr & Leftrightarrow {{cos left( {2x – x} ight)} over {cos x}} = {{cos 4x} over {cos 2x}} cr & Leftrightarrow cos 4x = cos 2x cr & Leftrightarrow 4x = pm 2x + k2pi Leftrightarrow left[ {matrix{{x = kpi } cr {x = k{pi over 3}} cr} } ight. Leftrightarrow x = k{pi over 3} cr} ) 

Để là nghiệm, các giá trị này còn phải thỏa mãn điều kiện (sin4x ≠ 0).

Ta có:

– Nếu (k) chia hết cho 3, tức là (k = 3m) ((minmathbb Z)) thì :

– Nếu (k) không chia hết cho 3, tức là (k = 3m ± 1) ((minmathbb Z))  thì :

(sin 4x = sin left( { pm {{4pi } over 3} + 4mpi } ight) = pm sin {pi over 3} = pm {{sqrt 3 } over 2} e 0) 

Vậy nghiệm của phương trình là (x = k{pi over 3}) với (k) nguyên và không chia hết cho 3.