27/04/2018, 21:02

Câu 26 trang 115 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Hãy chứng minh định lí 3. ...

Hãy chứng minh định lí 3.

Bài 26. Hãy chứng minh định lí 3.

Giải:

Ta sẽ chứng minh ({S_n} = {{nleft( {{u_1} + {u_n}} ight)} over 2}) (1)

+) Với mọi (n in mathbb N^*), bằng phương pháp qui nạp.

+) Với (n = 1), ta có ({S_1} = {u_1} = {{1left( {{u_1} + {u_1}} ight)} over 2}.) Như vậy (1) đúng với (n = 1).

+) Giả sử (1) đúng khi (n = k, k  in mathbb N^*), tức là:

({S_k} = {{kleft( {{u_1} + {u_k}} ight)} over 2})

+) Ta chứng minh (1) đúng với (n=k+1)

(eqalign{
& {S_{k + 1}} = {S_k} + {u_{k + 1}} cr
& = {{kleft( {{u_1} + {u_k}} ight)} over 2} + {u_{k + 1}} cr
& = {{kleft( {{u_1} + {u_{k + 1}} - d} ight) + 2{u_{k + 1}}} over 2} cr
& = {{k{u_1} + left( {k + 1} ight){u_{k + 1}} + {u_{k + 1}} - kd} over 2} cr
& = {{k{u_1} + left( {k + 1} ight){u_{k + 1}} + {u_1}} over 2} cr
& = {{left( {k + 1} ight)left( {{u_1} + {u_{k + 1}}} ight)} over 2} cr} )

Vậy (1) đúng với (n = k + 1)

Vậy (1) đúng với mọi (n in mathbb N^*).

Cách khác :

Ta có:

(eqalign{& left{ {matrix{{{S_n} = {u_1} + {u_2} + ... + {u_{n - 1}} + {u_n}} cr {{S_n} = {u_n} + {u_{n - 1}} + ... + {u_2} + {u_1}} cr} } ight. cr & Rightarrow 2{S_n} = left( {{u_1} + {u_n}} ight) + left( {{u_2} + {u_{n - 1}}} ight) + ... + left( {{u_{n - 1}} + {u_2}} ight) + left( {{u_n} + {u_1}} ight) cr} )

Mà  ({u_2} + {u_{n - 1}} = {u_3} + {u_{n - 2}} = ... = {u_n} + {u_1})

Do đó  (2{S_n} = nleft( {{u_1} + {u_n}} ight) Rightarrow {S_n} = {n over 2}left( {{u_1} + {u_n}} ight))

soanbailop6.com

0