Câu 4 trang 100 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Chứng minh rằng

Bài 4 Chứng minh rằng với mọi số nguyên (n ≥ 2), ta luôn có đẳng thức sau :

(left( {1 - {1 over 4}} ight)left( {1 - {1 over 9}} ight)...left( {1 - {1 over {{n^2}}}} ight) = {{n + 1} over {2n}})

Giải

+) Với (n = 2) ta có (1 - {1 over 4} = {3 over 4}) (đúng). Vậy (1) đúng với (n = 2)

+) Giả sử (1) đúng với (n = k), tức là ta có

(left( {1 - {1 over 4}} ight)left( {1 - {1 over 9}} ight)...left( {1 - {1 over {{k^2}}}} ight) = {{k + 1} over {2k}})

+) Ta chứng minh (1) đúng với (n = k + 1), tức là phải chứng minh :

(left( {1 - {1 over 4}} ight)left( {1 - {1 over 9}} ight)...left( {1 - {1 over {{{left( {k + 1} ight)}^2}}}} ight) = {{k + 2} over {2left( {k + 1} ight)}})

Thật vậy theo giả thiết qui nạp ta có :

(eqalign{
& left( {1 - {1 over 4}} ight)left( {1 - {1 over 9}} ight)...left( {1 - {1 over {{k^2}}}} ight)left( {1 - {1 over {{{left( {k + 1} ight)}^2}}}} ight) cr
& = {{k + 1} over {2k}}left( {1 - {1 over {{{left( {k + 1} ight)}^2}}}} ight) cr
& = {{k + 1} over {2k}}.{{{k^2} + 2k} over {{{left( {k + 1} ight)}^2}}} ={{k + 1} over {2k}}.{{k.left( {k + 2} ight)} over {{{left( {k + 1} ight)}^2}}}= {{k + 2} over {2left( {k + 1} ight)}} cr} )

Vậy (1) đúng với (n = k + 1) do đó (1) đúng với mọi (n ≥ 2)

soanbailop6.com