Câu 18 trang 109 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Cho dãy số (sn)

Bài 18. Cho dãy số (s_n) với  ({s_n} = sin left( {4n - 1} ight){pi over 6}.)

a. Chứng minh rằng ({s_n} = {s_{n + 3}}) với mọi (n ≥ 1)

b. Hãy tính tổng (15) số hạng đầu tiên của dãy số đã cho.

Giải:

a. Với (n>1) tùy ý, ta có :

(eqalign{
& {s_{n + 3}} = sin left[ {4left( {n + 3} ight) - 1} ight]{pi over 6} cr
& = sin left[ {4n - 1 + 12} ight]{pi over 6} cr
& = sin left[ {left( {4n - 1} ight){pi over 6} + 2pi } ight] cr
& = sin left( {4n - 1} ight){pi over 6} = {s_n} cr} )

b. Từ kết quả phần a ta có :

(eqalign{
& {s_1} = {s_4} = {s_7} = {s_{10}} = {s_{13}}, cr
& {s_2} = {s_5} = {s_8} = {s_{11}} = {s_{14}}, cr
& {s_3} = {s_6} = {s_9} = {s_{12}} = {s_{15}} cr} )

Từ đó suy ra :

({s_1} + {s_2} + {s_3} = {s_4} + {s_5}{ + _6} = {s_7} + {s_8} + {s_9} = {s_{10}} + {s_{11}} + {s_{12}} = {s_{13}} + {s_{14}} + {s_{15}})

Do đó :  ({S_{15}} = {s_1} + {s_2} + ... + {s_{15}} = 5left( {{s_1} + {s_2} + {s_3}} ight))

Bằng cách tính trực tiếp, ta có  ({s_1} = 1,{s_2} = - {1 over 2}, ext{ và },{s_3} = - {1 over 2} Rightarrow {s_{15}} = 0)

soanbailop6.com