Câu 24 trang 31 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao, Giả sử một con tàu vũ trụ được phóng lên từ mũi Ca-na-vơ-ran (Canaveral) ở Mĩ. Nó chuyển...

Bài 24. Giả sử một con tàu vũ trụ được phóng lên từ mũi Ca-na-vơ-ran (Canaveral) ở Mĩ. Nó chuyển động theo một quỹ đạo được mô tả trên một bản đồ phẳng (quanh đường xích đạo) của mặt đất

như hình 1.23 : điểm (M) mô tả cho con tàu, đường thẳng (∆) mô tả cho đường xích đạo.

Khoảng cách (h) (kilomet) từ (M) đến (∆) được

tính theo công thức (h = |d|), trong đó

(d = 4000cos left[ {{pi over {45}}left( {t – 10} ight)} ight],)

Với (t) (phút) là thời gian trôi qua kể từ khi con tàu đi vào quỹ đạo, (d > 0) nếu (M) ở phía trên (∆), (d < 0) nếu (M) ở phía dưới (∆).

a. Giả thiết rằng con tàu đi vào quỹ đạo ngay từ khi phóng lên tại mũi Ca-na-vơ-ran (tức là ứng với (t = 0)). Hãy tính khoảng cách từ điểm (C) đến đường thẳng (∆), trong đó (C) là điểm trên bản đồ biểu diễn cho mũi Ca-na-vơ-ran.

b. Tìm thời điểm sớm nhất sau khi con tàu đi vào quỹ đạo để có (d = 2000).

c. Tìm thời điểm sớm nhất sau khi con tàu đi vào quỹ đạo để có (d = -1236).

(Tính chính xác các kết quả đến hàng phần nghìn).

Giải

a. Vì (t = 0) nên (d = 4000cos left( { – {{10pi } over {45}}} ight) = 4000cos {{2pi } over 9}.) Do đó :

(h = |d| ≈ 3064,178 (km))

b.

(eqalign{& d = 2000 Leftrightarrow 4000cos left[ {{pi over {45}}left( {t – 10} ight)} ight] = 2000Leftrightarrow cos left[ {{pi over {45}}left( {t – 10} ight)} ight] = {1 over 2} cr & Leftrightarrow {pi over {45}}left( {t – 10} ight) = pm {pi over 3} + k2pi Leftrightarrow t = 10 pm 15 + 90k Leftrightarrow left[ {matrix{{t = 25 + 90k} cr {t = – 5 + 90k} cr} } ight. cr} ) 

Chú ý rằng (t > 0) ta thấy ngay giá trị nhỏ nhất của (t) là (t = 25). Vậy (d = 2000 (km)) xảy ra lần đầu tiên sau khi phóng con tàu vào quỹ đạo được (25) phút.

c.

(eqalign{
& d = – 1236 Leftrightarrow 4000cos left[ {{pi over {45}}left( {t – 10} ight)} ight] = – 1236 Leftrightarrow cos left[ {{pi over {45}}left( {t – 10} ight)} ight] = – 0,309 cr
& Leftrightarrow {pi over {45}}left( {t – 10} ight) = pm alpha + k2pi ,left( { ext{ với },k in mathbb Z, ext{ và },cos alpha = – 0,309} ight) cr
& Leftrightarrow t = pm {{45} over pi }alpha + 10 + 90k cr} ) 

Sử dụng bảng số hoặc máy tính bỏ túi, ta có thể chọn (α ≈ 1,885). Khi đó ta có :

(t ≈ ± 27,000 + 10 + 90k), tức là (t ≈ – 17,000 + 90k) hoặc (t ≈ 37,000 + 90k)

Dễ thấy giá trị dương nhỏ nhất của (t) là (37,000). Vậy (d = -1236 (km)) xảy ra lần đầu tiên là (37,000) phút sau khi con tàu được phóng vào quỹ đạo.