Câu 30 trang 41 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao, Giải các phương trình sau :...

Bài 30. Giải các phương trình sau :

a. (3cos x + 4sin x = -5)

b. (2sin2x – 2cos2x =  sqrt 2 )

c. (5sin2x – 6cos^2 x = 13)

Giải

a. Chia hai vế phương trình cho (sqrt {{3^2} + {4^2}} = 5) ta được :

(eqalign{
& {3 over 5}cos x + {4 over 5}sin x = – 1 Leftrightarrow cos xcos alpha + sin xsin alpha = – 1 cr
& left( { ext{ trong đó },cos alpha = {3 over 5} ext { và },sin alpha = {4 over 5}} ight) cr
& ext{ Ta có },:,cos left( {x – alpha } ight) = – 1 Leftrightarrow x – alpha = pi + k2pi cr
& ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, Leftrightarrow x = pi + alpha + k2pi ,k in Z cr} )

b. Chia hai vế phương trình cho (sqrt {{2^2} + {2^2}} = 2sqrt 2 ) ta được :

(eqalign{& {1 over {sqrt 2 }}sin 2x – {1 over {sqrt 2 }}cos 2x = {1 over 2} Leftrightarrow sin 2xcos {pi over 4} – cos 2xsin {pi over 4} = {1 over 2} cr & Leftrightarrow sin left( {2x – {pi over 4}} ight) = {1 over 2} Leftrightarrow left[ {matrix{{2x – {pi over 4} = {pi over 6} + k2pi } cr {2x – {pi over 4} = pi – {pi over 6} + k2pi } cr} } ight. Leftrightarrow left[ {matrix{{x = {{5pi } over {24}} + kpi } cr {x = {{13pi } over {24}} + kpi } cr} } ight.,k in mathbb Z cr} ) 

c.

(eqalign{
& 5sin 2x – 6{cos ^2}x = 13 Leftrightarrow 5sin 2x – 3left( {1 + cos 2x} ight) = 13 cr
& ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, Leftrightarrow 5sin 2x – 3cos 2x = 16 cr} ) 

Chia cả hai vế cho (sqrt {{5^2} – {3^2}} = sqrt {34} ) ta được :

({5 over {sqrt {34} }}sin 2x – {3 over {sqrt {34} }}cos 2x = {{16} over {sqrt {34} }}) 

Do ({left( {{5 over {sqrt {34} }}} ight)^2} + {left( {{3 over {sqrt {34} }}} ight)^2} = 1) nên ta chọn được số (α) sao cho :

(cos alpha = {5 over {sqrt {34} }}, ext{ và },sin alpha = {3 over {sqrt {34} }}) 

Ta có: (5sin 2x – 6{cos ^2}x = 13 Leftrightarrow sin left( {2x – alpha } ight) = {{16} over {sqrt {34} }} > 1)

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.