Bài 1 trang 145 SGK Giải tích 12: ÔN TẬP CUỐI NĂM – GIẢI TÍCH 12...

Bài 1. Cho hàm số:

(f(x) = ax^2– 2(a + 1)x + a + 2 ( a ≠ 0))

a) Chứng tỏ rằng phương trình f(x)  = 0 luôn có nghiệm thực. Tính các nghiệm đó.

b) Tính tổng (S) và tích (P) của các nghiệm của phương trình (f(x) = 0). Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số của (S) và (P) theo (a).

Trả lời:

Ta có:

(f(x) = ax^2– 2(a + 1)x + a + 2 = (x – 1)(ax – a- 2)) nên phương trình (f(x) = 0) luôn có hai nghiệm thực là:

(x = 1, x = {{a + 2} over a})

Theo định lí Vi-et, tổng và tích của các nghiệm đó là:

 (S = {{2a + 2} over a},P = {{a + 2} over a})

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (S = {{2a + 2} over a} = 2 + {2 over a})

– Tập xác định : ((-∞, 0)∪ (0, +∞))

– Sự biến thiên: (S’ =  – {2 over {{a^2}}} < 0,forall a in ( – infty ,0) cup (0, + infty )) nên hàm số nghịch biến trên hai khoảng ((-∞, 0)) và ((0, +∞))

– Cực trị: Hàm số không có cực trị

– Giới hạn tại vô cực và tiệm cận ngang

(eqalign{
& mathop {lim }limits_{a o + infty } S = mathop {lim }limits_{a o + infty } (2 + {2 over a}) = 2 cr
& mathop {lim }limits_{a o – infty } S = mathop {lim }limits_{a o – infty } (2 + {2 over a}) = 2 cr} )

Vậy (S = 2) là tiệm cận ngang

– Giới hạn vô cực và tiệm cận đứng:

(eqalign{
& mathop {lim }limits_{a o {0^ + }} S = mathop {lim }limits_{a o {0^ + }} (2 + {2 over a}) = + infty cr
& mathop {lim }limits_{a o {0^ – }} S = mathop {lim }limits_{a o {0^ – }} (2 + {2 over a}) = – infty cr} )

Vậy (a = 0) là tiệm cận đứng.

– Bảng biến thiên:

Đồ thị hàm số:

Đồ thị không cắt trục tung, cắt trục hoành tại (a = -1)

2) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (P = {{a + 2} over a} = 1 + {2 over a})

Tập xác định: (D = mathbb Rackslash { m{{ }}0} )

 (S’ = {{ – 2} over {{a^2}}} < 0,forall a in D)

(mathop {lim }limits_{a o {0^ – }} S =  – infty  ⇒ )Tiệm cận đứng: (a = 0)

(mathop {lim }limits_{a o  pm infty } S = 1⇒) Tiệm cận ngang: (S = 1)

Đồ thị hàm số:

Ngoài ra: đồ thị hàm số (P = {{a + 2} over a} = 1 + {2 over a}) có thể nhận được bằng cách tịnh tiến đồ thị (S = {{2a + 2} over a} = 2 + {2 over a}) dọc theo trục tung xuống phía dưới (1) đơn vị.