Câu 2 trang 100 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Chứng minh rằng

Bài 2. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta luôn có đẳng thức :

({2^2} + {4^2} + ... + {left( {2n} ight)^2} = {{2nleft( {n + 1} ight)left( {2n + 1} ight)} over 3})

Giải

+) Với (n = 1) ta có ({2^2} = {{2.2.3} over 3}) (đúng).

Vậy (1) đúng với (n = 1)

+) Giả sử (1) đúng với (n = k), tức là ta có :  

({2^2} + {4^2} + ... + {left( {2k} ight)^2} = {{2kleft( {k + 1} ight)left( {2k + 1} ight)} over 3})

+) Ta chứng minh (1) đúng với (n = k + 1), tức là phải chứng minh :

({2^2} + {4^2} + ... + {left( {2k} ight)^2} + {left( {2k + 2} ight)^2} = {{2left( {k + 1} ight)left( {k + 2} ight)left( {2k + 3} ight)} over 3})

Thật vậy, từ giả thiết quy nạp ta có :

(eqalign{
& {2^2} + {4^2} + ... + {left( {2k} ight)^2} + {left( {2k + 2} ight)^2} cr
& = {{2kleft( {k + 1} ight)left( {2k + 1} ight)} over 3} + {left( {2k + 2} ight)^2} cr
& = {{2left( {k + 1} ight)left( {2{k^2}+k+ 6k + 6} ight)} over 3} cr
& = {{2left( {k + 1} ight)left[ {2kleft( {k + 2} ight) + 3left( {k + 2} ight)} ight]} over 3} cr
& = {{2left( {k + 1} ight)left( {k + 2} ight)left( {2k + 3} ight)} over 3} cr} )

Vậy (1) đúng với (n = k + 1) do đó (1) đúng với mọi (n inmathbb N^*)

soanbailop6.com