Câu 13 trang 106 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Hãy xét tính tăng ...
Hãy xét tính tăng
Bài 13. Hãy xét tính tăng, giảm của các dãy số sau :
a. Dãy số (un) với ({u_n} = {n^3} - 3{n^2} + 5n - 7) ;
b. Dãy số (xn) với ({x_n} = {{n + 1} over {{3^n}}})
c. Dãy số (an) với ({a_n} = sqrt {n + 1} - sqrt n )
Hướng dẫn :
a. Xét hiệu un+1 – un.
b. Xét tỉ số ({{{x_n}} over {{x_{n + 1}}}})
c. Viết lại công thức xác định an dưới dạng
({a_n} = {1 over {sqrt {n + 1} + sqrt n }})
Tiếp theo, xét tỉ số ({{{a_n}} over {{a_{n + 1}}}})
Giải:
a. Ta có:
(eqalign{
& {u_{n + 1}} - {u_n} = {left( {n + 1}
ight)^3} - 3{left( {n + 1}
ight)^2} + 5left( {n + 1}
ight) - 7 - left( {{n^3} - 3{n^2} + 5n - 7}
ight) cr
& = 3{n^2} - 3n + 3 > 0,forall n in mathbb N^* cr} )
( Rightarrow {u_{n + 1}} > {u_n} Rightarrow left( {{u_n}} ight)) là dãy số tăng.
b. Ta có:
(eqalign{
& {{{x_n}} over {{x_{n + 1}}}} = {{n + 1} over {{3^n}}}.{{{3^{n + 1}}} over {n + 2}} = {{3left( {n + 1}
ight)} over {n + 2}} = {{3n + 3} over {n + 2}} > 1;forall n in mathbb N^* cr
& Rightarrow {x_n} > {x_{n + 1}} cr} )
(⇒ (x_n)) là dãy số giảm.
c. Ta có:
(eqalign{
& {a_n} = sqrt {n + 1} - sqrt n = {1 over {sqrt {n + 1} + sqrt n }} cr
& {{{a_n}} over {{a_{n + 1}}}} = {{sqrt {n + 2} + sqrt {n + 1} } over {sqrt {n + 1} + sqrt n }} > 1 cr
& Rightarrow {a_n} > {a_{n + 1}} cr} )
⇒ ((a_n)) là dãy số giảm.
soanbailop6.com
