Câu 5 trang 100 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Hãy chứng minh

Bài 5. Cho n là một số nguyên lớn hơn 1. Hãy chứng minh bất đẳng thức sau :

({1 over {n + 1}} + {1 over {n + 2}} + ... + {1 over {2n}} > {{13} over {24}}.)

Giải:

+) Với (n = 2) ta có :  ({1 over 3} + {1 over 4} = {7 over {12}} > {{13} over {24}})

Như vậy  (1) đúng khi (n = 2)

+) Giả sử (1) đúng khi (n = k, k > 2), tức là giả sử

({1 over {k + 1}} + {1 over {k + 2}} + ... + {1 over {2k}} > {{13} over {24}})

+) Ta sẽ chứng minh (1) cũng đúng khi (n = k + 1), nghĩa là ta sẽ chứng minh

({1 over {k + 2}} + {1 over {k + 3}} + ... + {1 over {2k + 1}} + {1 over {2left( {k + 1} ight)}} > {{13} over {24}})

Thật vậy , ta có:

(eqalign{
& {1 over {k + 2}} + {1 over {k + 3}} + ... + {1 over {2k}} + {1 over {2k + 1}} + {1 over {2left( {k + 1} ight)}} cr
& = {1 over {k + 1}} + {1 over {k + 2}} + ... + {1 over {2k}} + {1 over {2k + 1}} + {1 over {2left( {k + 1} ight)}} - {1 over {k + 1}} cr
& = {1 over {k + 1}} + {1 over {k + 2}} + ... + {1 over {2k}} + {{2left( {k + 1} ight) + 2k + 1 - 2left( {2k + 1} ight)} over {2left( {k + 1} ight)left( {2k + 1} ight)}} cr
& = {1 over {k + 1}} + {1 over {k + 2}} + ... + {1 over {2k}} + {1 over {2left( {k + 1} ight)left( {2k + 1} ight)}} cr
& > {1 over {k + 1}} + {1 over {k + 2}} + ... + {1 over {2k}} > {{13} over {24}} cr} )

(theo giả thiết quy nạp)

Từ các chứng minh trên suy ra (1) đúng với mọi số nguyên (n > 1).

soanbailop6.com